Limit of sequence

[suan123]

If a sequence $(a_n)_n$ of a positive number converges to a finite number $A$, show that
$\lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{a_1...a_n}=A$

มันดูเหมือนไม่มีอะไรแต่ผมไม่รู้จะเริ่มยังไง ช่วยชี้แนะหน่อยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

If a sequence $(a_n)_n$ of a positive number converges to a finite number $A$, show that
$\lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{a_1...a_n}=A$

มันดูเหมือนไม่มีอะไรแต่ผมไม่รู้จะเริ่มยังไง ช่วยชี้แนะหน่อยครับ

ใช้ Cesaro mean theorem กับลำดับ $(\ln a_n)_n$ ครับ

[suan123]

ขอบคุณมากครับ รบกวนพี่ๆแนะนำอีกสักข้อครับ

Let $(a_n)_{n\geq 1}$ be a bounded monotonic increasing sequence. Define $$ b_n = \frac{a_1+a_2+...a_n}{n}. $$
Prove that the sequence $(b_n)_{n\geq 1}$ is a bounded monotonic increasing and that
$$ \lim_{x \to \infty} (a_n) = \lim_{x \to \infty} (b_n) $$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

ขอบคุณมากครับ รบกวนพี่ๆแนะนำอีกสักข้อครับ

Let $(a_n)_{n\geq 1}$ be a bounded monotonic increasing sequence. Define $$ b_n = \frac{a_1+a_2+...a_n}{n}. $$
Prove that the sequence $(b_n)_{n\geq 1}$ is a bounded monotonic increasing and that
$$ \lim_{x \to \infty} (a_n) = \lim_{x \to \infty} (b_n) $$

ตัวนี้เป็นกรณีเฉพาะของ Cesaro mean theorem ครับ

ลองหาบทพิสูจน์จากใน google น่าจะมีครับ (มันค่อนข้างยาว)

[suan123]

แสดงว่าถ้ามันอยู่ใน qualification exam ก็ไม่ควรไปทำมันใช่ไหมครับ อิๆๆ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

แสดงว่าถ้ามันอยู่ใน qualification exam ก็ไม่ควรไปทำมันใช่ไหมครับ อิๆๆ

มันก็ไม่ได้ยากจนทำไม่ได้นะครับ