ถามโจทย์หน่อยค่าาาาา

[คน-อ่อน-เลข]

อันนี้คือลองคิดบางข้อแล้วแต่คิดไม่ได้อ่ะคะ TT บางข้อก็ไม่รู้จะเริ่มคิดยังไงเลยจริงๆ ช่วยหน่อยนะคะ ขอบคุณมากค่ะ

[NaPrai]

ข้อแรก กำหนดตัวแปรใหม่ให้ $x = \frac{a}{b}(\log_ba)$
นำสองสมการมาคูณกัน จะได้ $72+1296x+\frac{1}{x}=-3 \Leftrightarrow \frac{1296x^2+75x+1}{x}=0 \Rightarrow \boxed{x=-\frac{1}{27} หรือ -\frac{1}{48}}$
จากนั้นแทนค่า $x$ กลับ ได้ว่า $log_ba=-\frac{1}{27}(\frac{b}{a})$ หรือ $-\frac{1}{48}(\frac{b}{a})$

(1) ถ้า $\log_ba=-\frac{1}{27}(\frac{b}{a})$
แทนค่าในสมการที่ 1 ได้ว่า $-\frac{36}{27}(\frac{b}{a})+\frac{b}{a}=8 \Rightarrow \boxed{\frac{b}{a}=-24}$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะ $a,b$ เป็นจำนวนบวก

(2) ถ้า $\log_ba=-\frac{1}{48}(\frac{b}{a})$
แทนค่าในสมการที่ 1 ได้ว่า $-\frac{36}{48}(\frac{b}{a})+\frac{b}{a}=8 \Rightarrow \boxed{\frac{b}{a}=32}$
จากนั้น แทน $b=32a$ ลงในสมการที่สอง ได้ว่า

$\log_a32a+\frac{36a}{32a}=-\frac{3}{8} \Rightarrow (\log_a32+1)+\frac{9}{8}=-\frac{3}{8} \Rightarrow \log_a32=-\frac{5}{2} \Rightarrow\boxed{a=\frac{1}{4}}\Rightarrow\boxed{b=8}$

จากการตรวจคำตอบ พบว่าเป็นจริง ดังนั้น $\boxed{ab=2}$

[NaPrai]

ข้อสอง

$(\cot9^\circ -2\sin18^\circ)(4\cos^263^\circ-1)$

$= (\frac{\cos9^\circ}{\sin9^\circ}-4\sin9^\circ\cos9^\circ)(4\sin^227^\circ-1)$

$= (\frac{\cos9^\circ-4\sin^29^\circ\cos9^\circ}{\sin9^\circ})(4\sin^227^\circ-1)$

$= (\frac{\cos9^\circ-4(1-\cos^29^\circ)\cos9^\circ}{\sin9^\circ})(4\sin^227^\circ-1)$

$= (\frac{\cos27^\circ}{\sin9^\circ})(4\sin^227^\circ-1)$

$= \frac{4\sin^227^\circ \cos27^\circ-\cos 27^\circ}{\sin9^\circ}$

$= \frac{2\sin27^\circ\sin54^\circ-\sin63^\circ}{\sin9^\circ}$

$= \frac{2\sin27^\circ\cos36^\circ-\sin63^\circ}{\sin9^\circ}$

$= \frac{\sin(27+36)^\circ+\sin(27-36)^\circ-\sin 63^\circ}{\sin9^\circ}$

$= \frac{\sin(-9)^\circ}{\sin9^\circ}$

$= -1$

[NaPrai]

ข้อสาม

$\cos40^\circ+2\cos^270^\circ+1=\cos40^\circ+(2\cos^270^\circ-1)+2=\cos40^\circ+\cos140^\circ+2=2$

จากโจทย์ได้ว่า

$2=\frac{\sin2A+\cos2A+1}{\sin2A-\cos2A+1}\Leftrightarrow \frac{\sin 2A-3\cos2A+1}{\sin2A-\cos2A+1}=0 \Leftrightarrow \frac{(2\sin A\cos A+\sin^2A+\cos^2A)-3(\cos^2A-\sin^2A)}{(2\sin A\cos A+\sin^2A+\cos^2A)-(\cos^2A-\sin^2A)}=0 \Leftrightarrow \frac{2(\sin A+\cos A)(2\sin A-\cos A)}{2(\sin A +\cos A)\sin A}=0\Leftrightarrow \frac{2\sin A-\cos A}{\sin A}=0$

ดังนั้นได้ว่า $2\sin A-\cos A=0$ โดยที่ $\sin A \not= 0$

จาก $\sin^2A+\cos^2A=1 \Rightarrow \sin^2A+(2\sin A)^2 \Rightarrow \sin^2A=\frac{1}{5}$ จากโจทย์มีเงื่อนไขว่า $\pi \le A \le \frac{3\pi}{2}$

ดังนั้น $\boxed{\sin A=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\Rightarrow\boxed{\cos A = -\frac{2\sqrt{5}}{5}}\Rightarrow\boxed{\tan{A}=\frac{1}{2}}$

$\therefore \tan^2{3A}+\csc^2{2A}=(\frac{3\tan{A}-\tan^3A}{1-3\tan^2A})^2+(\frac{1}{2\sin{A}\cos{A}})^2=\frac{509}{16}$

[NaPrai]

ข้อสี่

จาก $\csc{B}=3\csc{A}\Leftrightarrow \sin{A}=3\sin{B}$ และ $\sec{A}=2\sec{B}\Leftrightarrow \cos{B}=2\cos{A}$

พิจารณา $4\sin^2{A}+4\cos^2{A}=36\sin^2{B}+\cos^2{B}\Leftrightarrow 4=1+35\sin^2{B}\Leftrightarrow\boxed{\sin^2{B}=\frac{3}{35}}\Rightarrow\boxed{\sin^2{A}=9\sin^2{B}=\frac{27}{35}}$

พิจารณา $\frac{\sin(2A+2B)}{\sin{4B}}=\frac{\sin{2A}\cos{2B}+\cos{2A}\sin{2B}}{2\sin{2B}\cos{2B}}$

$=\frac{1}{2}(\frac{\sin{2A}}{\sin{2B}}+\frac{\cos{2A}}{\cos{2B}})$

$=\frac{1}{2}(\frac{\sin{A}\cos{A}}{\sin{B}\cos{B}}+\frac{1-2\sin^2{A}}{1-2\sin^2{B}})$

$=\frac{1}{2}(\frac{3\sin{B}\cos{A}}{\sin{B}(2\cos{A})}+\frac{1-2(\frac{27}{35})}{1-2(\frac{3}{35})})$

$=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}-\frac{19}{29})$

$=\frac{49}{116}$

[NaPrai]

ข้อห้า

$LHS = \sqrt{\sin^4{\theta}+4(1-\sin^2{\theta})}-\sqrt{\cos^4{\theta}+4(1-\cos^2{\theta})}=\sqrt{(\sin^2{\theta}-2)^2}-\sqrt{(\cos^2{\theta}-2)^2}=(2-\sin^2{\theta})-(2-\cos^2{\theta})=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}=\cos(2\theta)$

$RHS = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2\cos\frac{5\pi}{14}-1)(2\cos\frac{15\pi}{14}-1)(2\cos\frac{45\pi}{14}-1)$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}}(2\cos\frac{5\pi}{14}-1)(2\cos\frac{\pi}{14}+1)(2\cos\frac{3\pi}{14}+1)$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}}(8\cos\frac{\pi}{14}\cos\frac{3\pi}{14}\cos\frac{5\pi}{14}+4(\cos\frac{\pi}{14}\cos\frac{5\pi}{14}+\cos\frac{ 3\pi}{14}\cos\frac{5\pi}{14}-\cos\frac{\pi}{14}\cos\frac{3\pi}{14})+2(-\cos\frac{\pi}{14}-\cos\frac{3\pi}{14}+\cos\frac{5\pi}{14})-1)$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(4\cos\frac{3\pi}{14}(\cos\frac{4\pi}{14}+\cos\frac{6\pi}{14})+2[(\cos\frac{4\pi}{14}+\cos\frac{6\pi}{14})+(\cos\frac{2\pi}{14}+\cos\frac{8\pi}{14})-(\cos\frac{2\pi}{14}+\cos\frac{4\pi}{14})]+2(-\cos\frac{\pi}{14}-\cos\frac{3\pi}{14}+\cos\frac{5\pi}{14})-1)$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(2(2\cos\frac{3\pi}{14}\cos\frac{4\pi}{14}+2\cos\frac{3\pi}{14}\cos\frac{6\pi}{14})+2(0)+2(-\cos\frac{\pi}{14}-\cos\frac{3\pi}{14}+\cos\frac{5\pi}{14})-1)$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}}(2(\cos\frac{\pi}{14}+\cos\frac{7\pi}{14}+\cos\frac{3\pi}{14}+\cos\frac{9\pi}{14})+2(-\cos\frac{\pi}{14}-\cos\frac{3\pi}{14}+\cos\frac{5\pi}{14})-1)$

$=-\frac{\sqrt{2}}{4}$

จากสมการเดิมได้ว่า $\boxed{\cos(2\theta)=-\frac{\sqrt{2}}{4}}$ ซึ่งจากการตรวจสอบกับเงื่อนไขโจทย์ปรากฏว่าเป็นจริง

จาก $\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3\pi}{4}$

$\therefore \boxed{\tan{\theta}=-\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{4}}{1-\frac{\sqrt{2}}{4}}}=\frac{-\sqrt{56}-\sqrt{7}}{7}}$

[คน-อ่อน-เลข]

ขอบคุณมากจริงๆนะคะ คือโจทย์ในหนังสือไม่มีเฉลยพอทำไม่ได้ก็ไม่รู้จะถามใคร ขอบคุณจริงๆค่าาา

[NaPrai]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NaPrai

ข้อห้า

$LHS = \sqrt{\sin^4{\theta}+4(1-\sin^2{\theta})}-\sqrt{\cos^4{\theta}+4(1-\cos^2{\theta})}=\sqrt{(\sin^2{\theta}-2)^2}-\sqrt{(\cos^2{\theta}-2)^2}=(2-\sin^2{\theta})-(2-\cos^2{\theta})=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}=\cos(2\theta)$

$RHS = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2\cos\frac{5\pi}{14}-1)(2\cos\frac{15\pi}{14}-1)(2\cos\frac{45\pi}{14}-1)$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}}(2\cos\frac{5\pi}{14}-1)(2\cos\frac{\pi}{14}+1)(2\cos\frac{3\pi}{14}+1)$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}}(8\cos\frac{\pi}{14}\cos\frac{3\pi}{14}\cos\frac{5\pi}{14}+4(\cos\frac{\pi}{14}\cos\frac{5\pi}{14}+\cos\frac{ 3\pi}{14}\cos\frac{5\pi}{14}-\cos\frac{\pi}{14}\cos\frac{3\pi}{14})+2(-\cos\frac{\pi}{14}-\cos\frac{3\pi}{14}+\cos\frac{5\pi}{14})-1)$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(4\cos\frac{3\pi}{14}(\cos\frac{4\pi}{14}+\cos\frac{6\pi}{14})+2[(\cos\frac{4\pi}{14}+\cos\frac{6\pi}{14})+(\cos\frac{2\pi}{14}+\cos\frac{8\pi}{14})-(\cos\frac{2\pi}{14}+\cos\frac{4\pi}{14})]+2(-\cos\frac{\pi}{14}-\cos\frac{3\pi}{14}+\cos\frac{5\pi}{14})-1)$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(2(2\cos\frac{3\pi}{14}\cos\frac{4\pi}{14}+2\cos\frac{3\pi}{14}\cos\frac{6\pi}{14})+2(0)+2(-\cos\frac{\pi}{14}-\cos\frac{3\pi}{14}+\cos\frac{5\pi}{14})-1)$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}}(2(\cos\frac{\pi}{14}+\cos\frac{7\pi}{14}+\cos\frac{3\pi}{14}+\cos\frac{9\pi}{14})+2(-\cos\frac{\pi}{14}-\cos\frac{3\pi}{14}+\cos\frac{5\pi}{14})-1)$

$=-\frac{\sqrt{2}}{4}$

จากสมการเดิมได้ว่า $\boxed{\cos(2\theta)=-\frac{\sqrt{2}}{4}}$ ซึ่งจากการตรวจสอบกับเงื่อนไขโจทย์ปรากฏว่าเป็นจริง

จาก $\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3\pi}{4}$

$\therefore \boxed{\tan{\theta}=-\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{4}}{1-\frac{\sqrt{2}}{4}}}=\frac{-\sqrt{56}-\sqrt{7}}{7}}$

จากข้อห้า ในการหาค่า $RHS$ มีอีกวิธีหนึ่งที่สวยงามมาก คือ

พิจารณา จากสูตร $2\cos(2A)-1=2(2\cos^2{A}-1)-1=4\cos^2A-3=\frac{\cos{3A}}{\cos{A}}$

$RHS = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2\cos\frac{5\pi}{14}-1)(2\cos\frac{15\pi}{14}-1)(2\cos\frac{45\pi}{14}-1)$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{\cos\frac{15\pi}{28}}{\cos\frac{5\pi}{28}})(\frac{\cos\frac{45\pi}{28}}{\cos\frac{15\pi}{28}})(\frac{\ cos\frac{135\pi}{28}}{\cos\frac{45\pi}{28}})$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{\cos\frac{135\pi}{28}}{\cos\frac{5\pi}{28}})$

$= -\frac{\sqrt{2}}{4}$