โจทย์ธรรมดา...ที่ไม่ธรรมดา

[Taungli]

สวัสดีครับทุกคนวันนี้ผมมีโจทย์มารบกวนหน่อยครับคิดไม่ออกจริง ๆ โจทย์มีอยู่ว่า
$1$ กำหนดระบบสมการ
$\left(\,a^2+a-1\right)\left(\,a^2-a+1\right)=2\left(\,b^3-2\sqrt{5}-1\right)$
$\left(\,b^2+b-1\right)\left(\,b^2-b+1\right)=2\left(\,a^3+2\sqrt{5}-1\right)$
ค่าของ $8a^2+4b^3$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
$1.20$
$2.10\sqrt{5} $
$3.10\left(\,1+\sqrt{5} \right) $
$4.20\sqrt{5} $
$2$กำหนด$z_{1}=1-\sqrt{3}i $และ $z_{2}=-1+\sqrt{3}i $
ถ้ารากที่ $9$ ของ $z_{1}$ คือ $a_{k}$โดยที่ $k=0,1,2,3,...,8$ และ
รากที่ $33$ ของ $z_{2}$ คือ $ิb_{m}$โดยที่ $m=0,1,2,3,...,32$
แล้วจะมีจำนวน $a_{k}=b_{m}$ กี่จำนวน
$1.0$
$2.1$
$3.2$
$4.3$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Taungli

สวัสดีครับทุกคนวันนี้ผมมีโจทย์มารบกวนหน่อยครับคิดไม่ออกจริง ๆ โจทย์มีอยู่ว่า
$1$ กำหนดระบบสมการ
$\left(\,a^2+a-1\right)\left(\,a^2-a+1\right)=2\left(\,b^3-2\sqrt{5}-1\right)$
$\left(\,b^2+b-1\right)\left(\,b^2-b+1\right)=2\left(\,a^3+2\sqrt{5}-1\right)$
ค่าของ $8a^2+4b^3$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
$1.20$
$2.10\sqrt{5} $
$3.10\left(\,1+\sqrt{5} \right) $
$4.20\sqrt{5} $
$

เอาสมการมาบวกกันตรง ๆ เลยครับ แล้วจะจัดรูป

จะได้ $(a^2-a-1)^2+(b^2-b-1)^2=0$ ลองคิดต่อดูครับ

[Taungli]

สำหรับข้อ $1$ นะครับผมลองทำได้แบบนี้
จาก $\left(\,a^2+a-1\right)\left(\,a^2-a+1\right)=2\left(\,b^3-2\sqrt{5}-1\right) $
จะได้ $a^4-\left(\,a-1\right)^2 =2b^3-4\sqrt{5}-2..........\left(\,1\right)$
และจาก $\left(\,b^2+b-1\right)\left(\,b^2-b+1\right)=2\left(\,a^3+2\sqrt{5}-1\right) $
จะได้ $b^4-\left(\,b-1\right)^2 =2a^3+4\sqrt{5}-2..........\left(\,2\right) $
นำ $(1)-(2);(a^4-b^4)-\left[\,(a-1)^2-(b-1)^2\right]=-2(a^3-b^3)-8\sqrt{5}$
$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)-(a-1-b+1)(a-1+b-1)+2(a-b)(a^2+ab+b^2)+8\sqrt{5}=0$
$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)-(a-b)(a+b-2)+2(a-b)(a^2+ab+b^2)+8\sqrt{5}=0$
ต่อจากนี้ผมไปต่อไม่ถูกเลยครับ ไม่น่าจะแยกตัวประกอบหาค่า $a,b$ ได้เลย
แต่ผมลองกดเครื่องคิดเลขแล้วได้คำตอบคือ $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}และb=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
เราจะได้$8a^2+4b^3=20$ แต่ผมนึกไม่ออกเลยว่าค่า $a,b$ จะออกมาเป็นตัวเลยสองตัวนี้ได้ยังงัย
อีกอย่างครับข้อนี้อยู่ในโจทย์เรื่องจำนวนเชิงซ้อน ผมก็ยังมองไม่ออกอีกว่าข้อนี้ต้องใช้จำนวนเชิงซ้อนยังงัย
รบกวนด้วยนะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Taungli

สำหรับข้อ $1$ นะครับผมลองทำได้แบบนี้
จาก $\left(\,a^2+a-1\right)\left(\,a^2-a+1\right)=2\left(\,b^3-2\sqrt{5}-1\right) $
จะได้ $a^4-\left(\,a-1\right)^2 =2b^3-4\sqrt{5}-2..........\left(\,1\right)$
และจาก $\left(\,b^2+b-1\right)\left(\,b^2-b+1\right)=2\left(\,a^3+2\sqrt{5}-1\right) $
จะได้ $b^4-\left(\,b-1\right)^2 =2a^3+4\sqrt{5}-2..........\left(\,2\right) $
นำ $(1)-(2);(a^4-b^4)-\left[\,(a-1)^2-(b-1)^2\right]=-2(a^3-b^3)-8\sqrt{5}$
$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)-(a-1-b+1)(a-1+b-1)+2(a-b)(a^2+ab+b^2)+8\sqrt{5}=0$
$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)-(a-b)(a+b-2)+2(a-b)(a^2+ab+b^2)+8\sqrt{5}=0$
ต่อจากนี้ผมไปต่อไม่ถูกเลยครับ ไม่น่าจะแยกตัวประกอบหาค่า $a,b$ ได้เลย
แต่ผมลองกดเครื่องคิดเลขแล้วได้คำตอบคือ $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}และb=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
เราจะได้$8a^2+4b^3=20$ แต่ผมนึกไม่ออกเลยว่าค่า $a,b$ จะออกมาเป็นตัวเลยสองตัวนี้ได้ยังงัย
อีกอย่างครับข้อนี้อยู่ในโจทย์เรื่องจำนวนเชิงซ้อน ผมก็ยังมองไม่ออกอีกว่าข้อนี้ต้องใช้จำนวนเชิงซ้อนยังงัย
รบกวนด้วยนะครับ

อันนี้คืออยู่ในส่วนของสมการพหุนามตอนท้ายเรื่องครับ

แต่เอาจริง ๆ ผมไม่ได้ใช้ความรู้ในบทนั้นเลย หรืออาจจะมีวิธีอื่นที่ใช้ได้ แต่ผมไม่ได้ใช้ครับ

solution

[Taungli]

สำหรับข้อ $2$
$z_{1}=1-\sqrt{3}i=2(cos(\frac{5\pi }{3})+isin(\frac{5\pi}{3} ))$
ดังนั้น $a_{k}=2^{\frac{1}{9} }(cos(\frac{(6k+5)\pi }{27})+isin(\frac{(6k+5)\pi }{27} ));k=0,1,2,...,8$
และ $z_{2}=-1+\sqrt{3}i=2(cos(\frac{2\pi }{3})+isin(\frac{2\pi}{3} ))$
ดังนั้น $b_{m}=2^{\frac{1}{33} }(cos(\frac{(6m+2)\pi }{99})+isin(\frac{(6m+2)\pi }{99} ));m=0,1,2,...,32$
เนื่อจาก $2^\frac{1}{9}\not= 2^\frac{1}{33}$ ดังนั้นจึงไม่มี $a_{k}=b_{m}$ เลย
ผมเข้าใจถูกหรือป่าวครับ?

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Taungli

สำหรับข้อ $2$
$z_{1}=1-\sqrt{3}i=2(cos(\frac{5\pi }{3})+isin(\frac{5\pi}{3} ))$
ดังนั้น $a_{k}=2^{\frac{1}{9} }(cos(\frac{(6k+5)\pi }{27})+isin(\frac{(6k+5)\pi }{27} ));k=0,1,2,...,8$
และ $z_{2}=-1+\sqrt{3}i=2(cos(\frac{2\pi }{3})+isin(\frac{2\pi}{3} ))$
ดังนั้น $b_{m}=2^{\frac{1}{33} }(cos(\frac{(6m+2)\pi }{99})+isin(\frac{(6m+2)\pi }{99} ));m=0,1,2,...,32$
เนื่อจาก $2^\frac{1}{9}\not= 2^\frac{1}{33}$ ดังนั้นจึงไม่มี $a_{k}=b_{m}$ เลย
ผมเข้าใจถูกหรือป่าวครับ?

ถูกแล้วครับ ถ้าจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนเท่ากัน. แสดงว่าขนาดของมันต้องเท่ากันด้วย