แคลคูลลัสอีกแล้วค่าาาา ช่วยหน่อยนะคะ

[คน-อ่อน-เลข]

คือบางข้อคิดไม่ออกไม่รู้จะเริ่มยังไง บ้างข้อคิดแล้วมันไม่ตรงเฉลยอ่ะค่ะ ช่วยหน่อยนะคะ

[NaPrai]

3. จะมาพิจารณา $f'(x)$ โดยวิธี่การที่จะใช้หลัก ๆ คือ Chain rules แต่ก่อนที่จะทำการดิฟ มาลองดูอะไรซักนิดหน่อย
ให้ $x=\ln y\Rightarrow e^x=y$\begin{align*}\frac{\partial e^x}{\partial x}&=\frac{\partial y}{\partial \ln y}=\frac{1}{\frac{\partial \ln y}{\partial y}}=y=e^x\end{align*}
ทีนี้กลับมาที่ปัญหาเดิมกันดีกว่า
\begin{align*}f'(x)&=\frac{\partial \ln\sqrt{x^3e^x}}{\partial x}\\ &=\frac{\partial\ln\sqrt{x^3e^x}}{\partial \sqrt{x^3e^x}}\cdot\frac{\partial\sqrt{x^3e^x}}{\partial x}\\ &=\frac{1}{\sqrt{x^3e^x}}({x^\frac{3}{2}}\cdot\frac{\partial e^{\frac{x}{2}}}{\partial x}+e^{\frac{x}{2}}\frac{\partial x^\frac{3}{2}}{\partial x})\\ &=\frac{1}{\sqrt{x^3e^x}}({x^\frac{3}{2}}\cdot\frac{\partial e^{\frac{x}{2}}}{\partial \frac{x}{2}}\cdot\frac{\partial \frac{x}{2}}{\partial x}+\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}e^{\frac{x}{2}})\\&=\frac{1}{\sqrt{x^3e^x}}(\frac{1}{2}{x^\frac{3}{2}}e^{\frac{x}{2}}+\frac{3}{2}x^ {\frac{1}{2}}e^{\frac{x}{2}})\\&=\frac{1}{2}+\frac{3}{2x}\end{align*}
จะเห็นว่าข้อ ก ผิดเต็มประตู ข้อ ข ก็ไม่ยากครับ เพียงแค่หา $\frac{f(e)-f(1)}{e-1}$ก็จะพบว่าผิด ส่วนข้อ ง ก็ผิดเช่นเดียวกันหลังจากแทนค่าลงไป แต่จะเห็นว่าข้อ ค หลังจากแทนค่าก็เป็นจริง
ดังนั้นตอบข้อ ค ครับ

[NaPrai]

9. $\boxed{f(x)+4g(x)=4x^2-3}$ -----(1) และ $\boxed{xf'(x)-g'(x)=3x+1}$ -----(2)
หลังจากดิฟหนึ่งครั้งและสองครั้งทั้งสองข้างของสมการที่ 1 และดิฟหนึ่งครั้งกับสมการที่ 2 จะได้ตามลำดับ ดังนี้
\begin{align*}f'(x)+4g'(x)&=8x\text{ -----(3)}\\f''(x)+4g''(x)&=8\text{ -----(4)}\\xf''(x)+f'(x)-g''(x)&=3\text{ -----(5)}\end{align*}
แทน $x=0$ ในสมการ (2) และ (3) จะได้ไม่ยากว่า $f'(0)=4$
แทน $x=0$ ในสมการ (4) และ (5) และใช้ผลของ $f'(0)=4$ จะแก้ได้ไม่ยากว่า $f''(0)+g''(0)=5$

[NaPrai]

12. จะเห็นว่าตัวเลือกแต่ละข้อจะเกี่ยวกับความชันของกราฟฟังก์ชันทั้งนั้นเลย ดังนั้นเราจะมาพิจารณาที่ค่าดิฟของฟังก์ชัน
\begin{align*}\frac{dy}{dx}&=\frac{d(x^2-x+2)^3}{dx}\\&=\frac{d(x^2-x+2)^3}{d(x^2-x+2)}\cdot\frac{d(x^2-x+2)}{dx}\\&=3(2x-1)(x^2-x+2)^2\end{align*}
ข้อ ก. ผิด เพราะ จะเห็นว่าสมการ $f'(x)=0$ มีรากจริงหนึ่งราก
ข้อ ข. ผิด เพราะ $f'(0)=-12$
ข้อ ค. ผิด เพราะ $f'(1)= 12$ ซึ่งความชันของสมการเส้นตรง $12x+y-1=0$ เท่ากับ $-12$ แสดงว่าทั้งสองเส้นไม่ขนานกัน
ข้อ ง. ถูก เพราะ $f'(-1)=-144$ ซึ่งความชันของสมการเส้นตรง $x-144y-1=0$ เท่ากับ $\frac{1}{144}$ แสดงว่าสองเส้นนี้ตั้งฉากกัน เพราะความชันคูณกันได้ $-1$

[NaPrai]

20. ขั้นตอนแรกจะต้องหาค่าต่ำสุด หรือสูงสุดสัมพัทธ์ โดยดูจากค่าวิกฤติ จาก $f(x)=x^3-3x^2$ แล้ว $f'(x)=3x^2-6x$ ซึ่ง $f'(x)=0$ มีราก $2$ ตัว คือ $0, 2$
ต่อมาตรวจสอบว่าจุดสองจุดนั้นเป็นจุดต่ำสุด หรือสูงสุด โดยดูจาก $f''(0) \ และ \ f''(2)$ จะได้ว่า $f''(0)=-6<0$ และ $f''(2)=6>0$
ดังนั้นจะได้ว่าที่ $x=0$ เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ และ $x=2$ เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
จากตรงนี้ จะได้ว่าช่วง $[-\frac{1}{2}, 4]$ ถูกแบ่งพิจารณาออกเป็น 3 ช่วง นั่นคือ $[-\frac{1}{2},0),[0,2),(2,4]$
นั่นคือค่าต่ำสุดและสูงสุดของฟังก์ชัน คือค่าต่ำสุดและสูงสุดในเซต {$f(-\frac{1}{2}), f(0), f(2), f(4)$}
ตรวจสอบได้ไม่ยากว่า $a+b=16+(-4)=12$

[คน-อ่อน-เลข]

ขอบคุณมากจริงๆค่าาาา