โจทย์อนุกรม ช่วยทีครับ

[issac]

กำหนดให้กรวยรัศมีฐาน R สูง h มีกรวยบรรจุภายในดังรูป โดยกรวยที่บรรจุนี้เป็นขนาดใหญ่ที่สุดที่จะบรรจุในกรวยใหญ่ บรรจุอย่างนี้ซ้อนกันไปเรื่อย ๆ อย่างไม่มีสิ้นสุด จงหาผลรวมของปริมาตรกรวยทั้งหมด?



ตรงคำนวณอนุกรมไม่มีปัญหา
แต่ที่มีปัญหาคือ จะหาสูตรปริมาตรของกรวยที่บรรจุอยู่ข้างในยังไงดีครับ?
ขอบคุณครับ

[Napper]

สมมิตให้กรวยตั้งต้นมีรัศมีและส่วนสูงเป็น $(R_0,h_0)$ นะครับ และกรวยชิ้นที่อยู่ในกรวยนี้มีรัศมีกับส่วนสูงเป็น $(R_1,h_1)$ และนิยาม $(R_n,h_n)$ สำหรับ $n \ge 2$ ในทำนองเดียวกัน และเราเรียกแทนกรวยเหล่านี้ด้วย $C_0,C_1,C_2,\ldots$ และปริมาตรของกรวยเป็น $V_0,V_1,V_2,\ldots$ ตามลำดับนะครับ

ถ้าเรากรวยดังรูปอย่างที่แนบมามาตัดดูหน้าตัดแนวตั้ง โดยให้จุดยอดของกรวย $C_1$ เป็นจุดกำเนิดและจุดยอดของ $C_0$ อยู่บนแทนบวก $y$ จะได้ว่าเส้นตรงที่เป็นส่วนสูงเอียงของ $C_0$ บนควอตแรนท์ 1 คือ
$$\frac{x}{R_0}+\frac{y}{h_0}=1$$
ซึ่งถ้าสังเกตกรวย $C_1$ จะพบว่าจุด $(R_1,h_1)$ อยู่บนเส้นตรงนี้ด้วย แสดงว่า
$$\frac{R_1}{R_0}+\frac{h_1}{h_0}=1$$
ซึ่งสามารถจัดรูปได้ว่า
$$h_1=h_0 \left(1-\frac{R_1}{R_0}\right)$$
เอาส่วนสูงไปใส่ในสูตรปริมาตร จะได้ว่าปริมาตรเป็นฟังก์ชันของตัวแปร $R_1$ เพียงตัวเดียว นั่นคือ
$$V_1(R_1)=\frac{1}{3}\pi h_0 \left(R_1^2-\frac{R_1^3}{R_0}\right)$$
ที่เหลือก็สามารถจัดการได้ไม่ยากแล้วครับว่า $R_1$ ต้องเป็นเท่าไรจึงจะได้ปริมาตรมากที่สุด ซึ่งจริงๆสูตรนี้เอาไปใช้ในการหา $(R_2,h_2), (R_3,h_3), \ldots$ ได้เช่นกัน

??????????????????????????????????

สุดท้ายจะได้ว่ารัศมีและส่วนสูงที่ทำให้ปริมาตรมากที่สุดคือ
$$(R_1,h_1)=\left(\frac{2}{3}R_0,\frac{1}{3}h_0\right)$$
นั่นคือ
$$V_1=\frac{4}{27}V_0$$