ค่าสูงสุดของ sin a +sin b + sin c =?

[kanakon]

อยากถามพี่ๆ ว่าเรามีวิธีการหาค่าสูงสุดของ

$sin(a ) +sin(b) + sin(c)$

เมื่อ $a+b+c = 90$ องศา

ได้อย่างไรนอกจากวิธี Convex-Concave Function(ฟังก์ชันนูน-ฟังก์ชันเว้า)

[nooonuii]

$a,b,c\geq 0$ รึเปล่าครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$a,b,c\geq 0$ รึเปล่าครับ

ขอโทษครับที่จริงแล้วต้อง $0<a,b,c<90$ ด้วยนะครับ

[Chopin]

Quote : ได้อย่างไรนอกจากวิธี Convex-Concave Function(ฟังก์ชันนูน-ฟังก์ชันเว้า)

ไม่รู้ว่า คำตอบจะ ไปเข้า concept ของ Convex-Concave Function รึเปล่านะครับ (มันออกแนวคล้ายๆกันน่ะ)


จาก d(sin x)/dx = cos x

และให้ 0 < x < 90

นั่นคือ ยิ่ง เพิ่มค่า x , slope ของ ค่า sin x ยิ่งน้อยลง (มันเข้าหลัก disminish marginal function >>> concave) ---- (1)

(ผมเข้าใจว่าเอาไปอธิบายให้เด็กฟัง เลยเขียนเป็นเนื้อเรื่องนะคัรบ)
นั่นหมายความว่า
ถ้าสมมติว่าเรามีเงินอยู่ 90 บาท
แล้วมีร้านขายลูกอมอยู่ สามร้าน ชื่อร้าน sin a, sin b, sin c
ยิ่งเราซื้อร้านไหนมากๆ ร้านนั้นก้อจะขายแพงขึ้น จาก (1)

ดังนั้น วิธีจะให้ได้ลูกอมเยอะที่สุด คือ เราต้องซื้อลูกอม จากแต่ละร้านเท่าๆ กัน นั่นคือ ร้านละ 30 บาท

and the answer is a= b= c= 30

[kanakon]

ขอบคุณ คุณChopin มากเลยนะครับ

ที่จริงผมไม่เข้าใจเอง แต่พอได้ศึกษา Jensen's inequality แล้วก็เข้าใจมากขึ้น

การอธิบายของคุณ Chopin ทำให้ผม(และเด็กๆ)เข้าใจได้อย่างง่ายดาย

[nooonuii]

ลองดูแบบใช้ตรีโกณอย่างเดียวบ้างครับ

$\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}=\sin{A}+\sin{B}+\sin{\Big(\dfrac{\pi}{2}-(A+B)\Big)}$

$=\sin{A}+\sin{B}+\cos{(A+B)}$

$=2\sin{\Big(\dfrac{A+B}{2}\Big)}\cos{\Big(\dfrac{A-B}{2}\Big)}+\cos{(A+B)}$

$\leq 2\sin{\Big(\dfrac{A+B}{2}\Big)} + 1 - 2\sin^2{\Big(\dfrac{A+B}{2}\Big)}$

$=\dfrac{3}{2} - 2\Big(\sin{\Big(\dfrac{A+B}{2}\Big)}-\dfrac{1}{2}\Big)^2$

$\leq\dfrac{3}{2}$

สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $\cos{\Big(\dfrac{A-B}{2}\Big)}=1$ และ $\sin{\Big(\dfrac{A+B}{2}\Big)}=\dfrac{1}{2}$

ก็ต่อเมื่อ $A=B=C=\dfrac{\pi}{6}$

[[Tong]_1412]

นับถือ นับถือ ง่ายจริงๆ ครับ