หวัดดีครับ สมาชิกใหม่ครับ!!!

[Tae]

ก็ สวัสดีทุกๆคนใน Mathcenter ด้วยนะครับ ผมพึ่งเป็นสมาชิกใหม่น่ะครับ พอดีมีโจทย์ตรีโกณที่ทำไม่ได้น่ะครับ เลยอยากเอามาถามหน่อย
(ช่วยอธิบายวิธีด้วยนะครับ)
1. หาโดเมนต์ และ เรนจ์ ของ f(x) = 4sin²2x-3sin4x
2. กำหนด tanx>cotx
tanx+cotx = 4
หา tan⁶x-cot⁶x
ช่วยตอบหน่อยครับ ขอบคุณมากครับ

[warut]

สวัสดีครับ

1. จาก sin²2x = (1 - cos4x)/2 เราจะได้ว่า
f(x) = 2 - 2cos4x - 3sin4x = 2 - ึ13sin(4x + q)
โดยที่ q = tan^-1(2/3)
ดังนั้น R_f = [2 - ึ13, 2 + ึ13]

2. ให้ y = tan x ดังนั้น 1/y = cot x
จาก y + 1/y = 4 จะได้ว่า y = 2 ฑ ึ3
แต่จาก y > 1/y ดังนั้น y = 2 + ึ3
เราจึงได้ว่า y - 1/y = 2y - (y + 1/y) = 2(2 + ึ3) - 4 = 2ึ3
ดังนั้น y² - 1/y² = (y + 1/y)(y - 1/y) = (4)(2ึ3) = 8ึ3
เราจึงได้ว่า (y² - 1/y²)³ = (8ึ3)³
นั่นคือ y⁶ - 1/y⁶ - 3(y² - 1/y²) = 1536ึ3
สรุปว่า y⁶ - 1/y⁶ = 1536ึ3 + 3(8ึ3) = 1560ึ3

[Tae]

หวัดดีครับพี่ WARUT
ขอบคุณครับที่ตอบให้ผม แต่ผมยังไม่เข้าใจ ข้อ 1 ตรงตั้งแต่บรรทัดที่ 2
เลยละครับ ผมไม่เก่งเลขอะ ช่วยอธิบายละเอียดได้มั้ยครับ ตั้งแต่
f(x) = 2-2cos4x-3sin4x = 2-ึ13sin(4x+q)
บรรทัดมาไงหรอ งง
โดยที่ q = tan^-1(2/3)
ไม่เข้าใจอะ
R_f = [2-ึ13,2+ึ13]
หา เรนจ์ ของตรีโกณ หาไงหรอครับ ( โดเมนต์ ก็ R อยู่แล้ว)
สรุปก็คือ ผมเข้าใจแต่บรรทัดแรกอะ แต่ข้อ2 ผมเข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับ ผมคงไม่เรื่องมากไปนะครับ ผมก็ไม่ค่อยเก่งซะด้วย ทำไม่ได้ก็ต้องถามละ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[warut]

คือเราสามารถรวมเทอม a*sin x + b*cos x เมื่อ a > 0 ให้อยู่ในรูปของ c*sin(x + q) ได้ดังนี้ครับ
ให้ c = ึa² + b²
จะเห็นว่า 0 < a/c ฃ 1 และ -1 < b/c < 1 ทำให้เราสามารถหา q ฮ (-p/2, p/2) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข
cos q = a/c และ sin q = b/c ได้
เนื่องจาก tan q = (sin q)/(cos q) = b/a ดังนั้น q = tan^-1(b/a) = sin^-1(b/c)
(จริงๆแล้วเราไม่จำเป็นต้องรู้ค่าของ q ในการหา R_f หรอกครับ เพียงแค่รู้ว่ามี q เช่นนั้นอยู่ก็พอแล้ว)
ตอนนี้เราก็สามารถรวมเทอมได้แล้วครับ
a*sin x + b*cos x = c*((a/c)*sin x + (b/c)*cos x) = c*(cos q sin x + sin q cos x) = c*sin(x + q)

ส่วนอีกเรื่องนึงคือเรื่องของการหา range เนื่องจากเราทราบว่า
f(x) = 2 - ึ13sin(4x + q)
และเราก็รู้ว่าค่าของ sin(4x + q) อยู่ในช่วง [-1, 1]
ทีนี้ให้สังเกตว่า f(x) จะมีค่ามากที่สุดเมื่อ sin(4x + q) มีค่าต่ำสุด (คือ -1)
ดังนั้นค่าสูงสุดของ f(x) ก็คือ 2 + ึ13
ในทำนองเดียวกัน f(x) จะมีค่าต่ำสุดเมื่อ sin(4x + q) มีค่าสูงสุด (คือ 1)
ดังนั้นค่าต่ำสุดของ f(x) ก็คือ 2 - ึ13
เราจึงได้ว่า range ของ f คือ [2 - ึ13, 2 + ึ13]
(เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน R ดังนั้นสำหรับทุกค่า y ฮ [min, max] จะต้องมี x ฮ R ที่ทำให้ f(x) = y เสมอ)

หวังว่านี่คงช่วยให้น้อง Tae เข้าใจเพิ่มขึ้นนะครับ

[Tae]

ก็ พอจะเข้าใจแล้วครับ เหลือบรรทัดเนี้ยครับ
จะเห็นว่า 0 < a/c ฃ 1 และ -1 < b/c < 1 ทำให้เราสามารถหา qฮ ( -p/2 , p/2 )ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข
cos q = a/c และ sin q = b/c ได้

เนี่ยครับ ทำไมรู้ว่า qฮ( - p/2,p/2 ) พอได้qแล้วทำไมรู้ค่า sin ,cos ได้ละครับ ช่วยอธิบายหน่อยนะครับ ขอบคุณครับ
( ถามมากจิงๆเลย ขอโทษนะครับ ไม่เก่งเลขเลย )
กว่าผมจะได้มาดูก็เสาร์หน้านู้น ก็ขอบคุณล่วงหน้าเลยนะครับที่ตอบมาให้ทุกครั้ง รบกวนมากเลย

[warut]

ลองพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว a และ b
และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c ดูสิครับน่าจะช่วยให้เข้าใจได้
หรืออีกวิธีก็คือให้พิจารณาจุด (a/c, b/c) บนวงกลมหนึ่งหน่วยดูนะครับ

[gon]

ยินดีต้อนครับ. " จงทำตัวเป็นทั้งผู้ให้และผู้รับที่ดี ." นี่คือคำกล่าวที่อยากบอกครับ.
อ้า.. ตอนนี้เรามีสมาชิกอาวุโสหลายท่านแล้วครับ. อย่างคุณ warut นี่ก็ถือเป็นตัวจริงคนหนึ่ง.
แล้วก็ยังมี น้อง Pich กับ ToT ที่น้อง Tae คงจะได้เจอบ่อย ๆ และก็สมาชิกนิรนามที่ยังไม่ยอมเปิดเผยตัวอีกจำนวนหนึ่ง. ส่วนพี่น้องเองก็อาจจะะเจอบ่อยบ้างไม่บ่อยบ้าง. (เพราะพี่ต้อง 1.หาตังค์ 2. เขียนหนังสือ 3.ทำเว็บ ) ก็ถ้าว่าง ๆ หรือ เครียด ๆ หรือ Update web ก็จะแวะมาครับ.

พี่กล้ารับประกันได้เลยว่า ถ้าน้องตั้งใจอ่านปัญหาที่ทั้งมีคนถามมาแล้ว และ ที่ถามกันทุก ๆ วัน และ ก็คิด ๆ ๆ ตาม ลองทำดูเอง . (เน้น) อ๊ะทำไม่ได้ ดูเฉลยคนอื่น ก็ได้. ภายใน 3 - 6 เดือน น้องต้องพบการเปลี่ยนแปลงตัวเองอย่างแน่นอนครับ.(อย่างน้อยก็ได้รับการกระตุ้น ในการหาความรู้เพิ่ม เพื่อให้คุยกับคนอื่นรู้เรื่องล่ะนะ) ถามได้ทุกปัญหา เพราะถ้ามีคนตอบได้ก็จะช่วยตอบกันครับ.
ไม่ต้องกลัวว่าจะมีคำถามใดที่ไม่ได้รับการตอบ. เพราะพี่จะคอยดูคำถามอยู่เป็นระยะ ๆ ถ้าไม่มีคนตอบพี่ก็จะพยายามตอบให้เองครับ. แต่ถ้าคำถามใดที่พี่ไม่แตะต้องเลยนั้นก็คือว่า
1.กระทู้นั้นนอกเรื่องเกินไป
2.พี่ไม่รู้เรื่องเลย.
3.ลืมอย่างไม่น่าจะลืม

" จงทำตัวเป็นทั้งผู้ให้และผู้รับที่ดี ." นี่คือคำกล่าวที่อยากบอกครั้งสุดท้ายอีกครั้งครับ
-------
อ้อ. เดี๋ยวนี้บอร์ดเราถือว่าสุดยอดบอร์ดคณิตศาสตร์ หนึ่งในตองอูแล้วนะครับ.(By. Mr. Top) เขียนได้เกือบทุกรูปแบบแล้ว ซึ่งน้องต้องมีความรู้เรื่อง Html. บ้าง หรือไม่ก็ copy จากที่มีคนเขียนไว้.
ถ้าต้องการรู้ว่าบอร์ดเราเขียนอะไรแบบไหนได้แล้ว ให้ดูในกระทู้ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=2013