แคลคูลัส - การกระจัด - ความเร็ว - ความเร่ง

[st_alongkorn]

ข้อนี้เป็นโจทย์แคลคูลัส ม.6 ครับ ซึ่งผมคิดว่าคำตอบน่าจะผิด จึงอยากจะถามความเห็นของเพื่อนๆ ดูว่าข้อนี้คำตอบถูกหรือไม่ และถ้าผิด คำตอบที่ถูกคืออะไร ???
โจทย์ : วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง 2 ฟุต/วินาที² ถ้าภายใน 2 วินาทีแรก วัตถุเคลื่อนที่ได้การกระจัด 200 ฟุต และเริ่มต้นวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 30 ฟุต/วินาที จงหาสมการของการกระจัดในรูปของเวลา
คำตอบ : s = t² + 3t + 136
*** ที่ผมว่าน่าจะผิดเพราะว่า ณ t = 0 , s = 136 และ ณ t = 2 , s = 200 ดังนั้นใน 2 วินาทีแรก วัตถุเคลื่อนที่ได้เพียง 64 ฟุตเท่านั้น
เพื่อนๆ คิดยังงัย ช่วยบอกด้วยนะครับ ขอบคุณครับ

[ToT]

** มือใหม่ขอลอง **
ให้ s = f(t)
. : a = f''(t)
v = f'(t)

f''(t) = a = 2
f'(t) = 2t + c
f(t) = t² + ct + k

f(2) = 200 = 4 + 2c + k -------------- ( 1 )

f'(0) = 30 = c -------------------------( 2 )

แทน (2) ใน (1)

200 = 4 + 60 + k
k = 136


. : f(t) = t² + 30t + 136 ได้เท่ากันรึป่าวคับ ?

แต่ผมยังไม่ค่อยเข้าใจการกระจัดเลยนะครับ มันเหมือนกับระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้แบบโจทย์ทั่วๆไปหรือป่าว หรือไปเกี่ยวกับเรื่องคลื่น ???

[ToT]

อืม ... คงพิมพ์ตกเลขศุนย์ในสมการนะครับ .... เคลื่อนที่ได้ 64 ฟุตในสองวินาทีก็น่าจะถูกแล้วนะครับ เพราะ

v_t = v₀ + at
.: v_t = 30 + 2t

ความเร็ว ณ วินาทีที่ 0 = 30 foot persec
ความเร็ว ณ วินาทีที่ 2 = 34 foot persec

v_{เฉลี่ย} จากวินาทีที่ 0 to 2 = (30 + 34)/2 = 32 foot persec

s = vt
s = 32(2)
= 64

ตอนแรกคิดได้ 66 foot รึเปล่าครับ ? อาจจะเป็นเพราะพี่เอา v₁(1) + v₂(1) จริงๆแล้ว ความเร็วเหล่านี้เป็นความเร็ว ณ วินาทีนั้นๆ ไม่ใช่ความเร็วเฉลี่ย เลยจับมาเข้าสูตร s = vt ไม่ได้น่ะครับ วัตถุมีความเร่งความเร็วก็เลยเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ต้องหา v เฉลี่ยครับ

[st_alongkorn]

การกระจัดก็คล้ายกันกับระยะทางนั่นแหละครับ แต่ว่าระยะทางเป็นปริมาณสเกลาร์ ( มีเฉพาะขนาด ) ส่วนการกระจัดเป็นปริมาณเวกเตอร์ ( มีทั้งขนาดและทิศทาง ) ยกตัวอย่างเช่น โยนก้อนหินจากพื้นขึ้นไปบนฟ้าได้ความสูง 1 เมตร ต่อจากนั้นก้อนหินก็ตกลงมาบนพื้น สามารถสรุปได้ว่า ก้อนหินเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 2 เมตร ( ขึ้น 1 เมตร - ลง 1 เมตร )แต่ก้อนหินเคลื่อนที่ได้การกระจัด 0 เมตร
ปัญหาของโจทย์ข้อนี้ก็อยู่ตรงที่ว่าเมื่อหาคำตอบได้แล้ว ลองหาการกระจัดภายใน 2 วินาทีแรก จะพบว่าคำนวณได้ 64 ฟุต แต่โจทย์ดันบอกว่าภายใน 2 วินาทีแรก วัตถุเคลื่อนที่ได้การกระจัด 200 ฟุต ซึ่งขัดแย้งกัน
จากวิธีทำที่คุณ ToT ทำ มีจุดผิดนิดหน่อยตรงที่
f(2) = 200 = 4 + 2c + k
f(2) หมายถึง การกระจัดระหว่างวัตถุ กับ จุดอ้างอิง ณ วินาทีที่ 2 หรือเป็นการบอกตำแหน่งของวัตถุ ณ วินาทีที่ 2 นั่นเองว่า วัตถุอยู่ห่างจากจุดอ้างอิงกี่ฟุต ไม่ได้หมายความว่า ภายใน 2 วินาทีแรก วัตถุเคลื่อนที่ได้การกระจัด 200 ฟุต
ดังนั้น ถ้าจะเขียนเงื่อนไขของโจทย์เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ก็จะเขียนได้ว่า f(2) - f(0) = 200
จาก f(t) = t² + 30t + k จะได้ว่า
f(2) = 4 + 60 + k = 64 + k
f(0) = 0 + 0 + k = k
f(2) - f(0) = 64 ft ทำยังงัยๆ ก็ไม่ได้ 200 ฟุตซักกะที
ก็เลยสรุปว่าโจทย์น่าจะผิด จริงๆ แล้ว โจทย์น่าจะบอกว่า ณ วินาทีที่ 2 วัตถุอยู่ห่างจากจุดอ้างอิง 200 ft ไม่ใช่บอกว่า ภายใน 2 วินาทีแรก วัตถุเคลื่อนที่ได้การกระจัด 200 ฟุต
แล้วจอมยุทธท่านอื่นมีความคิดเห็นอย่างไรบ้างครับ ???

[gon]

ถูกต้องอย่างที่น้องว่ามาล่ะครับ. พี่กำลังจะตอบอย่างนั้นเหมือนกัน
เพราะเมื่อเราได้ว่า V = 2t +30 หรือ ds = (2t+30) dt
ดังนั้นถ้าใช้คำว่า ภายใน 2 วินาทีแรกจะหมายถึงค่าของ
๒ ds_s1^s2 = ๒ (2t + 30) dt _t=0^t=1 ต่างหาก
ซึ่งจะได้ว่า s₂ - s₁ = 64
ดังนั้นเมื่อ s₁น0 สมการที่ได้จึงดูทะ****

[st_alongkorn]

ขอบคุณมากๆ ครับสำหรับทุกคำตอบ ...