โจทย์ติว Olimpiad จากเตรียมตอนเย็น

[ToT]

30-5-45
จะมาเพิ่มให้เริ่อยๆนะคับ แต่อาจจะไม่ครบเพราะวันนี้ไปสาย
ลองทำดูแล้วกันนะครับ วันนี้ก็เป็นเรื่องเกี่ยวกับพวกพีชเนี่ยแหละ เน้นเทคนิคแยก factor

1. x³ - y³ = 26
2. x , y ฮ I⁺

1 x

+

1 y

=

1 11

หา ( x,y)
*3. xyz = x! + y! + z!
x , y , z ฮ I⁺

คัดมาเฉพาะข้อที่น่าสนใจนะครับ แบบพอเป็นแนวคิดได้ ชอบข้อ 3 เป็นพิเศษคับ ยังไงลองทำดูละกัน

ทำข้อแรกได้ข้อเดียวอะครับ
(x,y) = (3,1) ใช่ปะ

[ToT]

อ่า .... ใช่ครับ

เอ่อ ... ขออภัย ... พิมพ์ตกไปอ่ะคับ ข้อแรกกำหนด x , y ฮ I⁺ ด้วยนะครับ ลืมไป แฮ่ ....

เดี๋ยวจะแนะเทคนิคให้ซักข้อนะครับ ซึ่งโจทย์สองข้อแรกมาในแนวนี้ คือการแยก factor ยกตัวอย่างข้อแรกแล้วกัน

x³ - y³ = 26
(x - y)(x² + xy + y²) = 26
(x - y)[(x - y)² +3xy] = 26

แยกตัวประกอบของ 26 ได้ออกมาเป็นคู่ๆตามนี้
[a] 1 26
[b] 2 13
[c] 13 2
[d] 26 1

ให้พิจารณา (x - y) และ (x - y)² +3xy
จะพบว่า (x - y)² +3xy จะมากกว่า (x - y) เสมอ
ฉะนั้น ตัดกรณี [c],[d] ทิ้งได้

พิจารณากรณี [a] ได้
x - y = 1

(x - y)² +3xy = 26
3xy = 25
จะพบว่าไม่มีจำนวนเต็ม x ,y ใดๆเป็นคำตอบของกรณีนี้

พิจารณากรณี [b] ได้
x - y = 2

(x - y)² +3xy = 13
4 + 3xy = 13
3xy = 9
xy = 3


จากนั้นก็แก้ระบบไปตามเรื่องได้ ( x ,y ) = (3,1)

ลองใช้กับข้อสองดูกันนะครับ

[gon]

ข้อ 2.
11x + 11y = xy
11x + 11y - xy -121 = -121
(x-11)(11-y) = -121 = (-1)(121) = (121)(-1) = (-11)(11) = (11)(-11)
(x, y) = (12, 132) , (22, 22)

[gon]

ข้อที่ 3. ถ้าเขียนแค่ว่า
xyz = x! + y! + z! x , y , z เป็นจำนวนเต็มบวกอย่างเดียวน่าจะกำกวมนะครับ.
เพราะ xyz อาจหมายถึง ผลคูณของ x,y,z หรือ อาจมองว่าเป็น เลขโดด 3 ตัวก็ได้ แต่ตามความคิดผมน่าจะเป็นแบบหลังมากกว่า
สมมติว่าเป็นแบบหลังแล้วกันนะครับ.
เนื่องจาก
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720
แต่ xyz ฃ 999 แสดงว่า x ฃ 6
\ xyz = 100 x + 10y + z = x! + y! + z!
case I : x = 6
600 + 10y + z = 720 + y! + z!
10y + z = 120 + y! + z! ฎ เป็นไปไม่ได้ เพราะ 10y + z ฃ 99

case II : x = 5
500 + 10y + z = 120 + y! + z!
380 + 10y + z = y! + z!
380 + 11 ฃ 380 + 10y + z ฃ 380 + 99
\ 391 ฃy ! + z! ฃ 479 ฎ เป็นไปไม่ได้

case III : x = 4
400 + 10y + z = 24 + y! + z!
376 + 10y + z = y! + z!
\ 387=376+11 ฃy ! + z! ฃ 376+99 = 475 ฎ เป็นไปไม่ได้

case IV : x = 3
300 + 10y + z = 6 + y! + z!
294 + 10y + z = y! + z!
\ 305=294+11 ฃy ! + z! ฃ 294+99 = 393 ฎ เป็นไปไม่ได้

case V : x = 2
200 + 10y + z = 2 + y! + z!
198 + 10y + z = y! + z!
\ 209=198+11 ฃy ! + z! ฃ 198+99 = 297 ฎ
เป็นไปได้กรณีเดียวคือ y! + z! = 120 + 120 = 5! + 5!
ดังนั้น y = z = 5 แต่เมื่อตรวจสอบ คือ 255 น 2! + 5! + 5! = 242

ดังนั้นใช้ไม่ได้

case VI : x = 1
100 + 10y + z = 1 + y! + z!
99 + 10y + z = y! + z!
\ 110=99+11 ฃy ! + z! ฃ 99+99 = 198 ฎ
เป็นไปได้ 2 กรณี คือ y! + z! = 120 + 24 = 5! + 4! หรือ 24 + 120 = 4! + 5!
ดังนั้นอาจเป็น 154 หรือ 145
ตรวจสอบ 1! + 5! + 4! = 1 + 120 + 24 = 145 จึงได้ 145 เท่านั้น

นั่นคือ (x,y,z) = (1, 4, 5)

อันที่จริงไม่ต้องเขียนยาวขนาดนี้หรอกครับ. ทำจริง ๆ แค่มอง ๆ ดูแทนค่าในใจว่าเป็นไปได้หรือไม่ก็น่าจะเพียงพอแล้ว
แต่น่าจะมีวิธีการคิดที่ดีกว่านี้นะ เพราะผมลองคิดไม่นานเท่าไร.

[warut]

ถ้าคุณ gon ไม่มาบอกผมคงตีความโจทย์ข้อ 3 ผิดไปตลอดกาลเลยนะเนี่ย

[ToT]

ขออภัยอย่างสูงครับ - -" คือพิมพ์เพลินไปหน่อย ลืมย้ำให้ไป
ส่วนวิธีที่ใช้เฉลยเป็นวิธีของพี่ gon นั่นแหละครับ อยู่ในเรื่องเทคนิคการตัดกรณีอะไรประมาณเนี้ย

อันนี้เป็นโจทย์ของวันนี้ครับ เป็นตรีโกณทั้งชุดเลย

และเช่นเคย คัดมาเฉพาะข้อที่น่าสนใจน้าคร้าบบบ

1.log ( secq + tanq) = 10^{2 log 10} ค่าของ log(secq - tanq) มีค่าเท่าใด

2.f(x) = a sin x + bx . cos x + x² และ f(5) = 5 แล้ว f(-5) มีค่าเท่าใด

3. ถ้า tan 20ฐ = x แล้ว

tan200ฐ - tan150ฐ 1 + tan200ฐ tan150ฐ

มีค่าเท่าใด

4. ( คัดโอ )
x + y = 3 - cos4q
x - y = 4sin2q
แล้ว x^1/2 + y^1/2 มีค่าเท่าใด

เฮ้ออ คงไม่มีอะไรกำกวมแล้วนะ

ให้ log(sec@ - tan@) = x ; @ คือ theta ครับ
จาก log(sec@ + tan@) = 100
log(sec@ - tan@) + log(sec@ + tan@) = log(sec^2 @ - tan^2 @)
x + 100 = log(1) = 0 ; sec^2 @ = 1 + tan^2 @
x = -100

เพิ่งทำไปข้อเดียว
ขอบอกว่าตอนแรกก็อ่านโจทย์ข้อ 3 อันที่แล้วไม่เข้าใจเหมือนกันครับ

ขอลองอีกข้อนะครับ

f(5) = asin5 + 5bcos5 + 25 = 5
f(-5) = -asin5 - 5bcos5 + 25 ; sin(-x) = -sin(x) ; cos(-x) = cos(x)
f(5) + f(-5) = 50
5 + f(-5) = 50
f(-5) = 45 ..................#

ลองทำข้อ 3 แล้วครับ
ผมทำถึก ๆ แต่คิดว่ามีวิธีดีกว่านี้แน่ ๆ
จากโจทย์ ถาม tan(50) = ? และ tan(20) = x
ให้ a= 10 ;
ผมก็กระจาย tan 5a ออกมาให้รูปของ tan 2a กับ tan 3a
แล้วกระจาย tan 3a ออกมาให้รูปของ tan 2a กับ tan 1a
แล้วก็กระจาย tan 2a ให้ออกมาเป็น tan a แล้วจัดรูปเป็น quadratic หา tan a ในรูปของ tan 2a
....เอาทั้งหมดแทนกลับเข้าไป

....ต้องมีวิธีดีกว่านี้แน่ ๆ

เอ่อ ข้อ 4 ทำไม่ได้ครับ

[ToT]

อืมม เฉลยเลยแล้วกันนะครับ

เอ่อ ... ข้อสี่ ตอนอาจารย์ปล่อยโจทย์มา ก็นั่งเงียบกันทั้งห้องประชุมเหมือนกัน

Sol. ข้อ 3 คือจะมีสูตรอยู้สูตรนึงน่ะครับว่า

tan( A - B )

=

tanA - tanB 1+tanA tanB

ข้อนี้จะเข้า Form พอดี สรุปได้ว่าทั้งพจน์นี้มีค่า = tan 50
ถึงตอนนี้หลายๆคนจะแตกออกมาโดยใช้สูตร tan(30 + 20) ก็จะได้คำตอบออกมา

แต่เผอิญข้อนี้เป็นข้อสอบแบบมี choice จึงขอแนะนำอีกทางเลือกนึง

คือ tan 50 = cot 40 =

1 tan 40

1 tan 40

=

1 tan 2(20)

หลังจากนั้นก็กระจายมันออกมาโดยสูตร tan 2A เรื่อยๆ ก็จะออกมาเป็นคำตอบครับ

Sol. ข้อ 4

x + y = 3 - cos4q
x + y = 3 - (1 - 2sin²2q)
x + y = 2 + 2sin²2q --------( 3 )

(2) + (3); 2x = 2 + 4sin2q + 2sin²2q

ดูออกแล้วใช่ไหมครับ

x = 1 + 2sin2q + sin²2q
x = (1 + sin2q)²
x^1/2 = 1 + sin2q

ทำในทำนองเดียวกัน ได้

y^1/2 = 1 - sin2q

แฮ่กๆๆ แล้วก็เอามาบวกกัน