|
|
#16
20 มิถุนายน 2002, 22:02
|
||||
|
||||
กลับมาแก้ตัวอีกครั้งคับทั่น - -"
( ..... ถึกหน่อยนะ ... ^^") (x+1/x)2+(y+1/y)2 ณ 12.5 ; x,y ฮ R+ x+y = 1 x + y = 1 y = 1 - x ดังนั้น xy = x(1-x) = x - x2 ให้ f(x) = x - x2 f'(x) = 1 - 2x หาค่าของ x ที่ทำให้ xy มีค่ามากที่สุด f'(x) = 0 = 1 - 2x 2x = 1 x = 0.5 so .. y = 0.5 xymax = 0.25 xy ฃ 0.25 so ... 1/xy ณ 1/0.25 1/xy ณ 4 แต่ 1/x + 1/y = (x + y)/xy = 1/xy ดังนั้น 1/x + 1/y ณ 4 ยกกำลังสองทั้งสองข้าง 1/x2 + 1/y2 + 2/xy ณ 16 ------ (1) แต่จาก 1/xy ณ 4 ได้ 2/xy ณ 8 ---------- (2) 1/x2 + 1/y2ณ 8 --------(3) จาก x + y = 1 ได้ x2 + 2xy + y2 = 1 -------------(4) (3) + (4); x2 + 2xy + y2 + 1/x2 + 1/y2 ณ 9 --------------- (5) แต่ xy ฃ 0.25 2xy ฃ 0.5 -2xy ณ -0.5 ---------- (6) (5) + (6) ; x2 + 1/x2 + y2 + 1/y2 ณ 8.5 (x2 + 2 + 1/x2) + (y2 + 2 + 1/y2) ณ 12.5 (x+1/x)2+(y+1/y)2 ณ 12.5
__________________
Mmmm .... 
|
|
#17
22 มิถุนายน 2002, 19:37
|
|||
|
|||
|
มีอีกวิธีนึงครับที่คิดได้
คือจะพิสูจน์ก่อนว่า a2+b2ณ(a+b)2/2 จาก (a-b)2ณ0 จะได้ a2+b2ณ2ab 2(a2+b2)ณa2+2ab+b2 2(a2+b2)ณ(a+b)2 a2+b2ณ(a+b)2/2 ที่นี้ก็แทน a=x+1/x b=y+1/y ก็จะได้ (x+1/x)2+(y+1/y)2ณ(x+1/x+y+1/y)2/2 =(1+1/x+1/y)2/2 (x+y=1) =(1+(x+y)/xy)2/2 =(1+1/xy)2/2 ณ(1+(2/x+y)2)2/2 (ส่วนกลับของอสมการ AM-GM) =(1+22)2/2 =52/2 =12.5
|
|
#18
22 มิถุนายน 2002, 22:36
|
|||
|
|||
|
กระจายได้ (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z) = 1+1/xy+1/yz+1/zx+1/x+1/y+1/z+1/xyz = 1+2/xyz+1/x+1/y+1/z
โดย am-gm ได้ xyz<=1/27 then 1/xyz>=27 จะพิสูจน์ว่า 1/x+1/y+1/z >=9 พิจารณา (xy+yz+zx)=(x+y+z)(xy+yz+zx)=yx^2+xy^2+...+3xyz จาก am-gm จะได้ yx^2+xy^2+..>= 6xyz then (xy+yz+zx)>=9xyz ซึ่งคือ 1/x+1/y+1/z >=9 สรุปว่า (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z) = 1+2/xyz+1/x+1/y+1/z >= 1+2(27)+9=64 อีกวิธีคือ fix z แล้วแสดงว่าค่ามากสุดจะเกิดเมื่อ x=y จากนั้นในทำนองเดียวกัน fix y,x จะให้ค่ามากสุดเมื่อ x=z,y=z ดังนั้นค่ามากสุดจะเกิดเมื่อ x=y=z ซึ่งเท่ากับ 1/3 ก็จะได้(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z) >= 64
|
|
#19
22 มิถุนายน 2002, 22:40
|
|||
|
|||
|
วิธีที่ใช้การ fix นั้นไม่ยากลองทำกันดูเองนะคับ
|
  |
|
|
