โจทย์ของ TAMREF ข้อที่ 2 (สี่เหลี่ยมคางหมู)

[TAMREF]

กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ที่มีคุณสมบัติดังนี้

1.) ด้าน AB ขนานกับ CD โดยที่ CD ยาวกว่า AB
2.) เส้นทแยงมุม AC กับ BD ตัดกันที่จุด E
3.) พท.AED + พท.BEC = 2548 ตารางหน่วย
4.) ความยาวของ AB,CD และส่วนสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้เป็นจำนวนเต็ม

จากคุณสมบัติที่กำหนดทั้งหมดข้างต้น ถามว่าสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD สามารถมีพื้นที่ได้น้อยที่สุดเท่าใด

[gon]

ผมลองมั่วมาแล้ว(ไม่รู้มั่วถูกหรือเปล่า) จะได้ว่า พ.ท.สี่เหลี่ยมดังกล่าวจะมีค่าเท่ากับ 1274(m+n)² / mn โดยที่ m,n แทนความยาวด้านของ CD และ AB ตามลำดับ (m>n) แต่ (m+n)² / mn = (m/n) + 2 + (n/m) และ นอกจากนี้ (m/n) + (n/m) ณ 2 ด้วย ดังนั้น (m+n)² / mn ณ 4

แสดงว่าพื้นที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้นั่นคือ m = n = 2 แต่ m ต้อง > n ดังนั้นผมเลยขี้เกียจคิดต่อแล้ว ถ้าลองให้ m = 2, n = 1 จะได้พื้นที่เท่ากับ 5733 ซึ่งไม่รู้ว่าน้อยที่สุดหรือยัง จะมีใครลองมาคิดดูบ้างไหม ?

อ้อ ! ยังมีความสัมพันธ์ mnh = 2548(m + n) เมื่อ h แทนส่วนสูง

ให้ด้าน AB ยาว m หน่วย CD ยาว n หน่วย ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู ยาว p หน่วย
ระยะ EF ยาว x หน่วย ระยะ EG ยาว y หน่วย จะได้ พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD คือ p (m + n) / 2 ตารางหน่วย
และ พท.AED + พท.BCE คือ (my + nx) / 2 ตารางหน่วย

สมมติเรากำหนดค่า m , n และ p อย่างอิสระ จะได้
x = mp / (m + n) และ y = np / (m + n)

จากเงื่อนไข พท.AED + พท.BCE = 2548 ตารางหน่วย จะได้ my + nx = 5096 และ
x = (5096 - mp) / (n - m) และ y = (np - 5096) / (n - m)

ดังนั้น mp / (m + n) = (5096 - mp) / (n - m) และ np / (m + n) = (np - 5096) / (n - m)
จะได้ p = 2548 (m + n) / mn
จึงได้ พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD คือ p (m + n) / 2 ตารางหน่วย หรือ 1274 (m + n)² / mn ตารางหน่วย
จัดรูปใหม่เป็น 2548 + 1274 [(m/n) + (n/m)]

แม้ว่า ที่ค่า m = n ทำให้มีพื้นที่น้อยสุดเป็น 2548 + 1274 (1 + 1) = 5096 ตารางหน่วย ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนดมา
แต่ฟังก์ชัน f(x) = x + 1/x เป็นฟังก์ชันเพิ่มเสมอเมื่อ x > 1 เราจึงพิจารณาให้ m = n - 1 แล้วพิจารณาที่ n มีค่ามากๆ
เนื่องจาก p = 2548 (m + n) / mn = 2548 (2n - 1) / [n (2n - 1)] จะมีค่าลดลงเมื่อ n เพิ่มขึ้น และจะมีค่าน้อยสุดเป็น 1
จึงได้ 2548 (2n - 1) = n (2n - 1) เห็นได้ชัดว่า n ที่ต้องการคือ 2548 นั่นเอง
ดังนั้น พื้นที่น้อยสุดเป็น 2548 + 1274 ((2547/2548) + (2548/2547)) = 25959025 / 5094 = 5096 + 1 / 5094 ตารางหน่วย

คุณ gon ทำถูก