ถามนิดนึงครับ

[M@gpie]

อยากทราบว่าอันไหนถูกครับ
ให้ r={(x,y)ฮRxR|y² = xy+1}
จงหาจำนวนสมาชิกของ rวr^-1เท่ากับเท่าใด(สมาคมฯ40)
ก.0 ข.2 ค.4 ง.6
วิธีที่ 1: ตอบ ก.
กราฟของ r จะตัดกับ r^-1 บนเส้นตรง y=x
แทน y=x ในสมการจะได้ว่า
y² = y² +1 -> 0=1
แทน x=y ในสมการจะได้ว่า
x² = x² +1 -> 0=1
ดังนั้นสรุปว่า จำนวนสมาชิกของ rวr^-1 คือ 0
วิธีที่ 2: ตอบ ข.
ให้ (x,y)ฮ rวr^-1
แสดงว่า (x,y)ฮ r และ (x,y)ฮ r^-1
เนื่องจาก r={(x,y)ฮRxR|y² = xy+1}
ดังนั้น y² = xy +1 ........(1)
และ x² = yx +1 ........(2)
จาก(2)จะได้ xน0 และ y= x- 1/x ......(3)
แทนค่า y= x-1/x ใน (1) จะได้
x² -2 +1/x² = x² -1 +1
x² =1/2 -> x = 1/ึ2 , -1/ึ2
แทนค่า x= 1/ึ2 ใน(3) จะได้ y= -1/ึ2
แทนค่า x= -1/ึ2 ใน(3) จะได้ y= 1/ึ2
ตรวจคำตอบจะได้ว่าใช้ได้ทั้งคู่ แสดงว่า rวr^-1 เท่ากับ 2

คือว่า งง มากเลย อยากทราบว่าวิธีไหนผิด วิธีไหนถูก เพราะเหตุใด นั่งคิดมานานแล้วครับ หรือว่าข้อสรุปที่ว่า กราฟของ r จะตัดกับ r^-1 บนเส้นตรง y=x ผิด ช่วยตอบด้วยครับ

[M@gpie]

เพิ่มอีกข้อครับ
สมการ x +1/x = k
ถ้า -2 < k < 2 แล้ว xฯR โดยที่จะได้ว่า k=2cosq
และ x=cis(q) หรือ cis(-q)
ผลที่ตามมาคือ xⁿ +1/xⁿ = 2cos(nq)
อยากทราบว่า พิสูจน์ยังไงอ่ะครับ เอามาใช้เร็วดีแต่อยากรู้วิธีพิสูจน์ครับ

[SOS_math]

ข้อที่ 1 นะครับ "กราฟของ r จะตัดกับ r-1 บนเส้นตรง y=x" เป็นข้อสรุปที่ผิดครับ ตัวอย่างเช่น ให้ r={(x,y):x2+y2=1} จะพบว่า r=r{-1}

[M@gpie]

อ๋อ จิงด้วย
ผมลองคิดดูว่า ข้อสรุปนั้นจะเป็นจริงเมื่อ r และ r^-1ถ้าเป็นฟังก์ชั่น ทั้งคู่(พี่ๆว่าถูกป่ะครับ) ขอบคุณสำหรับตัวอย่าง คับ