โจทย์ครับ

[Brownian]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

แต่มันก็ยังบอกไม่ได้อยู่ดีว่ามันไม่อยู่ใน $\mathbb{Q}$ นะครับ
ยกตัวอย่างเช่น $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\in\mathbb{Q}$ ถึงแม้ว่า $2\sqrt{2},\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$

$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ เป็นจำนวนตรรกยะแน่นอนอยู่แล้วครับ เพราะว่า $2\sqrt{2}=k(\sqrt{2})$ ซึ่งจะเห็นว่ามีจำนวนตรรกยะ k ที่สอดคล้องคือ k = 2 แต่จากโจทย์ พิสูจน์ได้ว่า ไม่มี จำนวนตรรกยะ k ใดๆ ที่สอดคล้องนะครับ

[owlpenguin]

แล้วจะพิสูจนว่าไม่มี k ที่ว่า ์ยังไงครับ

[Brownian]

Proof that $$\frac{\log\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\log 2-\log 3} \not\in \mathbb{Q}$$

Proof

สมมติให้ $\frac{\log\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\log 2-\log 3} \in \mathbb{Q}$
และเพราะว่า $\frac{\log\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\log 2-\log 3}>0$
จึงสมมติได้ว่า $\frac{\log\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\log 2-\log 3}=\frac{a}{b}$ for some positive integer a, b & $b\not=0$

$\Rightarrow (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^b = (\frac{2}{3})^a$

$\Rightarrow 3^a(\sqrt{5}-1)^b = 2^{a+b}$

เพราะว่า $a, b \in \mathbb{Z}^+$ จึงได้ว่า $2|3^a$ หรือ $2|(\sqrt{5}-1)^b$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ทั้งสองแบบ

ดังนั้น สรุปได้ว่า ไม่มีจำนวนเต็ม a และ b ที่สอดคล้อง นั่นคือ จำนวนข้างบนไม่เป็นจำนวนตรรกยะ