อยากทราบวิธีคิดของแต่ละคนเพื่อความหลากหลาย

[Lekkoksung]

จงหาค่า $x$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
$$(x+1)^{x}+(x+2)^{x}=(x+3)^{x}$$

[หยินหยาง]

เป็นจำนวนเต็มบวกหรือเปล่าครับ ถ้าใช่ $x = 2 $ครับ

[Anonymous314]

จริงด้วยครับ กราฟตัดที่ $x=2$ จุดเดียว

[nooonuii]

ผมก็ได้ $x=2$ แต่จะพิสูจน์ยังไงนี่อีกเรื่อง

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ผมได้ $x=-2$ ด้วยครับ

ไม่ได้ครับ เพราะ $(x+2)^{x}$ จะทำให้ส่วนเป็น 0 ครับ

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lekkoksung

จงหาค่า $x$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
$$(x+1)^{x}+(x+2)^{x}=(x+3)^{x}$$

เมื่อ $x$ เป็นจำนวนจริงทั้งหมด

[owlpenguin]

ฟังก์ชัน $f(x)=(x+1)^x+(x+2)^x-(x+3)^x$ นิยามเมื่อ $x<-1$ ครับ
และจะได้ว่า $x=2$ เท่านั้น ถ้า $f(x)=0$ ครับ (ลอง plot ดูแล้วครับ)
แต่จะทำอย่างไรถึงออกมาเป็น $x=2$ นี่ยังนึกไม่ออกครับ

พอจะนึกแนวคิดแบบเถื่อนๆหน่อยได้วิธีหนึ่งอ่ะครับ ก็คือ:
กราฟนี้มี local min กับ local max อย่างละ 1 ตัว พอดี ผมลอง diff $f(x)$ ดูแล้ว ผลออกมาแบบนี้ครับ
$\displaystyle f'(x)=(1+x)^x(\frac{x}{1+x}+\ln(1+x))+(2+x)^x(\frac{x}{2+x}+\ln(2+x))-(3+x)^x(\frac{x}{3+x}+\ln(3+x))$
ก็หา $x$ ทั้ง 2 ที่ทำให้ $f'(x)=0$ แล้วนำ $x$ ทั้งสองไปแทนใน $f(x)$
ผลที่ออกมาก็ควรจะได้ $f(x)>0$ สำหรับทั้ง $2$ ค่า (ตัวหนึ่งมันจะอยู่ก่อน $0.5$ นิดนึง (แต่มากกว่า $0$) ส่วนอีกตัวอยู่ระหว่าง $1$ กับ $1.5$)

สังเกตว่า $f(0)=1$ และ $f(x)$ ต่อเนื่องทุก $x<-1$ เพราะฉะนั้น ช่วงที่ $x$ ที่มันน้อยกว่า local min กราฟก็จะพุ่งลง แต่ยังคงมากกว่า 0 (เพราะ local min>0)

แล้วกราฟก็จะพุ่งขึ้นไปยัง local max และพอผ่านจุด local max กราฟก็จะดิ่งลงอีกแต่คราวนี้จะไม่ขึ้นมาอีกและตัดแกน $x$ ที่ $x=2$

[หยินหยาง]

ข้อนี้ผมเริ่มจากแนวคิดของ แฟร์มาต์ที่กล่าวไว้ว่า $x^n+y^n =z^n$ จะไม่มีคำตอบ $(x_0,y_0,z_0)$ ซึ่ง $x_0,y_0,z_0 \in N$ เมื่อ $n \geqslant 3$ ดังนั้นผมจึงถามว่า x ในที่นี้เป็นจำนวนเต็มบวกหรือเปล่า ถ้าใช่ผมจึงตอบว่า x จะมีเพียงค่าเดียวคือ 2