[C]alc[U]lus

[[A]muro]

๒ x d(x) from p/3 to 2p/3
ทำปกติ จะได้คำตอบ แต่ถ้าเรา เปลี่ยนตัวแปร U = sinx
จะได้ ๒ x/cosx d(u) from ึ3/2 to ึ3/2
ถ้ามองค่า ก็จะได้เท่ากับ 0

มีทบ อะไรแก้ตรงนี้ได้ไม๊ครับ

[M@gpie]

แก้ได้รึเปล่าไม่ชัว
แต่คิดว่าการเปลี่ยนตัวแปรอันนี้ไม่สมบูรณ์
เพราะเราจะบอกว่า ๒ f(x)dx จาก a ถึง a = 0 เมื่อ a เป็นจำนวนจริง และ f(x) เป็นฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้
แต่เพราะว่า กำหนด u=sinx ถ้าเราต้องการหาค่าอินทิเกรตออกมาเราต้องเขียน x ในรูปของ u เพื่อเปลี่ยนตัวแปร ก็คือให้ u=arcsinx แต่ไม่สามารถทำได้เนื่องจาก 2p/3 ไม่อยู่ในโดเมนของ arcsin
เมื่อเปลี่ยนตัวแปรไม่ได้
มอง ๒x/cosx du เราก็ไม่สามารถอินทิเกรตได้ ก็แสดงว่าที่ทำมาไม่ถูก

[nooonuii]

ทำไม่ได้ครับ ปกติการแทนค่าตัวแปรจะจริงเมื่อ ตัวเปรที่เราสร้างเป็น monotone function ครับ คือเป็นฟังก์ชันเพิ่มอย่างเดียว หรือลด อย่างเดียว จะเห็นว่าในช่วง [p/3,2p/3] ฟังก์ชัน sine มีทั้งเพิ่มและลดในคราวเดียว เราจึงแทนค่าตัวแปรตลอดทั้งช่วงไม่ได้ แต่อาจจะทำได้ถ้าเราแบ่งเป็นสองส่วนคือ [p/3,p/2] และ [p/2,2p/3]
แต่ส่วนที่สองนี่น่าจะใช้ตัวแปรอื่นนะครับ

[[A]muro]

ถาม ถ้าต้องเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลดอย่างเดียว งั้นก็แปลว่าอินทิเกรตพาลาโบลาไมได้ซิครับ

ถามต่อ กราฟ cos hyperbolic กับ hyperbola มันใช้ในกรณีไหนบ้าง ช่วยยกตัวอย่างที่เห็นชัดในการใช้ประยุกต์กับวิชาอื่นๆทีครับ เช่น ฟิสิกส์

[nooonuii]

ไม่ใช่ครับ คือฟังก์ชันที่เราจะเอาไปแทนน่ะครับจะต้องเป็น monotone function ครับ ไม่ได้หมายถึงตัวฟังก์ชันเดิม

อย่างที่ถามมา เราจะสร้างตัวแปรใหม่ คือ u(x) = sinx ใช่มั้ยล่ะครับ ซึ่งฟังก์ชันนี้เนี่ยมันไม่ monotone ตลอดช่วงที่เราจะอินทิเกรตน่ะครับเราจึงทำทีเดียวไม่ได้ อ้อลืมบอกไป คือที่เราต้องการให้ตัวแปรใหม่เป็น monotone function ก็เพราะว่าฟังก์ชันชนิดนี้มันเป็นฟังก์ชันชนิด 1-1 ครับเราจึงสามารถเขียน x ให้อยู่ในรูปของ u เพื่อแทนค่าให้เป็น u ทั้งหมดได้ ผมขอยกตัวอย่างนี้ให้ดูนะครับ

_-1๒¹ x² dx
ถ้าเราแทนค่าตัวแปร u=x² เราก็จะได้ ขอบเขตของ u เริ่มจาก 1 ไปยัง 1 เอ๊ะมันชักจะยังไงอยู่ อันนี้ก็เหมือนกันครับ u=x² มันไม่ monotone ในช่วง [-1,1] ครับ เลยมีอะไรเพี้ยนๆออกมา

คราวนี้ผมทำอย่างนี้ครับ แบ่งออกมาเป็นสองช่วงคือ [-1,0] กับ [0,1] โดยใช้การแปลงแบบเดียวกันคือ u = x² ซึ่งทำได้เพราะ u=x² มัน monotone ทั้งสองช่วง ในช่วงแรก เราจะได้ x=-ึu ในช่วงที่สองเราจะได้ x=ึu ดังนั้น

_-1๒¹ x² dx = ₁๒⁰ -1/2 u/ึu du + ₀๒¹ 1/2 u/ึu du =₀๒¹ 1/2 u/ึu du+₀๒¹ 1/2 u/ึu du=₀๒¹ ึu du =2/3

พวกไฮเพอร์โบลิกฟังก์ชันนี่ผมไม่ค่อยเจอครับ คงต้องให้คนที่เรียนทางวิศวะมาอธิบาย แต่เท่าที่ทราบมาอย่างการสร้างสะพานนี่เขาก็ใช้เส้นโค้งพวกนี้นะครับ

[[A]muro]

ขอบคุณครับ นอกจากนี้ยังมีเทคนิคการอินทิเกรตอะไรเพิ่มเติมที่จำเป็นต้องรู้อะไรช่วยรบกวนบอกทีครับ

[[A]muro]

มีหัวข้อที่น่าสนใจอยู่อย่างนึงครับ
โดยทั่วไปในการแก้สมการพหุนามที่เท่ากับ 0 เราจำเป็นที่จะต้องแยกตัวประกอบแล้วสมมติให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับ 0 จานั้นค่อยมาตรวจสอบอีกที แต่ถ้าเราต้องการใช้ อนุพันธ์เข้ามาช่วยในการแก้เช่น
X² + 2X + 1 = 0
X² + 1 = -2X
หาอนุพันธ์ทั้งสองข้าง จะได้
2X = -2 \ X = -1
อยากทราบว่า การแก้สมการต่างๆทั้งสมการพหุนามและสมการอื่นๆด้วยการใช้ แคลคูลัส สามารถทำได้ในกรณีใดบ้าง แล้วผลที่ได้เกิดจากอะไร

[nooonuii]

ที่ตั้งข้อสังเกตมาไม่ใช่เรื่องบังเอิญครับ จริงๆเราสามารถใช้อนุพันธ์ในการตรวจสอบภาวะรากซ้ำของพหุนามได้ครับ

ทฤษฎีบท ให้ P(x) เป็นพหุนามและ a เป็นรากๆหนึ่งของ P(x) เราจะได้ว่าa เป็นรากอันดับที่ k ของ P(x) (a เป็นราก k ตัว) ก็ต่อเมื่อ
P(a)=P'(a)=...=P^(k-1)(a)=0 และ P^(k)(a)น 0

อย่างที่ยกตัวอย่างมา x²+2x+1 จะมี -1 เป็นราก 2 ตัว เราจึงได้ว่า -1 ก็จะเป็นรากของ 2x+2 ด้วย

[gon]

พี่จบโยธามา ก็เพิ่งรู้เหมือนกันนี่ละครับ.ว่าสะพาน เขาใช้ Hyperbolic function วิเคราะห์ด้วย. ไม่ได้ลงเรียน Bridge Design ตอบไม่ได้เหมือนกัน ว่าเอาไปประยุกต์ ยังไง เคยเห็นแต่ในทางไฟฟ้า(มั้ง)

ตอบปัญหาอินทิเกรตครับ
Theorem If g' is continuous on [a, b] and f is continuous on the range of u = g(x), then ๒ f(g(x))g'(x)dx |(upper:b, lower:a) = ๒ f(u)du ||(upper:g(b), lower:g(a))
จากโจทย์ u = g(x) = sin x ซึ่ง range ของ g คือ [-1, 1] เนื่องจาก f(u) = (arcsin u)/(cos(arcsin u)) ไม่นิยามที่ u = -1, 1 ดังนั้น f ไม่ต่อเนื่องบน range ของ u = g(x) จึงไม่สามารถใช้การอินทิเกรตโดยการแทนค่าตัวแปรครับ

[alongkorn]

ข้อความเดิมของคุณ <alongkorn>:
ตอบปัญหาอินทิเกรตครับ
Theorem If g' is continuous on [a, b] and f is continuous on the range of u = g(x), then ๒f(g(x))g'(x)dx (upper:b, lower:a) = ๒ f(u)du (upper:g(b), lower:g(a))
จากโจทย์ u = g(x) = sin x ซึ่ง range ของ g คือ [-1, 1] เนื่องจาก f(u) = (arcsin u)/(cos(arcsin u)) ไม่นิยามที่ u = -1, 1 ดังนั้น f ไม่ต่อเนื่องบน range ของ u = g(x) จึงไม่สามารถใช้การอินทิเกรตโดยการแทนค่าตัวแปรครับ