รูปหกเหลี่ยมมุมเท่า

[mercedesbenz]

1. รูปหกเหลี่ยมมุมเท่าซึ่งมีสี่ด้านที่เรียงติดกันยาว 2, 4, 6, 8 หน่วย จะมีพื้นที่ได้มากสุดเท่าไร
2. $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี มุม $BAC=20$ องศา ขนาดของ $AB=AC$
$D$ เป็นจุดภายนอก ที่ทำให้ $CAD=ACD=BAC$ จงหาขนาดของมุม $ADB$
(หมายเหตุ มุม อักษรที่อยู่ตรงกลางคือจุดยอดมุม เช่น BAD มีจุด A เป็นจุดยอดมุม)

[nongtum]

ข้อแรก ถ้าด้านของหกเหลี่ยมเรียงต่อกันแบบนั้นจริง ผมว่าจะไม่มีรูปหกเหลี่ยมที่สอดคล้องเงื่อนไขครับ
(ผมไม่ได้วาดรูป ดังนั้นลองวาดและทดตามดูนะครับ)

แนวคิด คือ

สมมติว่ามันสร้างได้ และมีความยาวแต่ละด้านวนตามเข็มนาฬิกาเป้น 2,4,6,8,b,a ตามลำดับ
ลากเส้นจากจุดตัดระหว่างด้าน 2 หน่วยกับด้าน a หน่วย ขนานกับด้าน 4 หน่วย ไปจนตัดด้าน 6 หน่วย ตั้งชื่อเป็นเส้น x
รูปสี่เหลี่ยมคางหมูจั่วที่เกิดขึ้นโดยการลากเส้น x รูปแรกจะมีความยาวด้านเป็น 4,2,6,2 หน่วยตามลำดับ
จากจุดตัดระหว่างด้าน 8 หน่วยกับด้าน b หน่วย ลากเส้นตรงขนานกับด้าน 8 หน่วยไปตัดเส้น x เพื่อสร้างรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจั่วรูปที่สอง
ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมคางหมูจั่วที่เกิดขึ้นโดยการลากเส้น y รูปแรกจะมีความยาวด้านเป็น 4,8,12,8 หน่วยตามลำดับ
แต่เพราะสี่เหลี่ยมที่เหลือ จากการเอาสี่เหลี่ยมคางหมูจั่วสองรูปออกไป (มีด้าน a,b) เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ซึ่งทำให้ 8=6-b ทำให้ b<0 เกิดข้อขัดแย้ง

จึงไม่สามารถสร้างหกเหลี่ยมมุมเท่าที่มีสี่ด้านเรียงกันตามที่กำหนดได้ครับ

ข้อ 2 สมมติให้ AC ตัด BD ที่ E ไล่มุมเท่าที่จำเป็นให้ครบก่อน แล้วใช้กฏของไซน์กับสามเหลี่ยม ADE และ DEC เพื่อแก้หามุม ADB ครับ
(ที่จริืงอาจไม่ต้องใช้กฏของไซน์ก็ได้้ แต่ผมยังไม่ได้ลองทดเพิ่มครับ)

[Onasdi]

ข้อแรกได้ว่ามันเป็นไปไม่ได้เหมือนกันครับ

เลือกสามด้านที่ไม่ได้อยู่ติดกัน ต่อทั้งสามด้านออกมาตัดกันสามจุด(A,B,C) ซึ่งจะเห็นว่า ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า (เพราะแต่ละมุมของหกเหลี่ยมนี้เป็น 120)
ทำให้ได้ว่า ผลบวกของสองด้านที่ตรงข้ามกันจะต้องเท่ากัน ดังนั้น 2+4=8+x เป็นไปไม่ได้

ข้อสองคำตอบคือ 110 ครับ