ผลบวกทั้งหมดของจำนวนนับ

[faa]

ผลบวกทั้งหมดของจำนวนที่หาร 2550 ลงตัว มีค่าเท่าไร
เฉลย $2550=2x3x5^2x17$
จำนวนนับที่หาร 2550 ลงตัว คือ 1,2,3,17,6,34,51,102
1x5 2x5 3x5 17x5 6x5 34x5 51x5 102x5
1x25 2x25 3x25 17x25 6x25 34x25 51x25 102x25
ดังนั้น ผลบวกทั้งหมดที่หาร 2550 ลงตัว
= (1+5+25)(1+2+3+17+6+34+51+102) สงสัยบันทัดนี้ครับว่าทำไมต้องมาคูณกันและทำไมต้องบวกกัน
= 6696
จริง ๆแล้วก็งงหลายจุดแต่ที่งงมากที่สุดก็ตรงบวกกับคูน และ ใช้1+5+25+50ไม่ได้หรือครับ
ช่วยอธิบายให้ด้วยครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ faa

ผลบวกทั้งหมดของจำนวนที่หาร 2550 ลงตัว มีค่าเท่าไร
เฉลย $2550=2x3x5^2x17$
ดังนั้น ผลบวกทั้งหมดที่หาร 2550 ลงตัว
= (1+5+25)(1+2+3+17+6+34+51+102) สงสัยบันทัดนี้ครับว่าทำไมต้องมาคูณกันและทำไมต้องบวกกัน
= 6696
จริง ๆแล้วก็งงหลายจุดแต่ที่งงมากที่สุดก็ตรงบวกกับคูน และ ใช้1+5+25+50ไม่ได้หรือครับ
ช่วยอธิบายให้ด้วยครับ

บรรทัดสีแดงนี่ ที่จริงน่าจะเขียนแบบนี้มากกว่าครับ $$(1+2)(1+3)(1+5+5^2)(1+7)$$ส่วนที่ว่าทำไมต้องบวกและคูณแบบนี้ เบื้องต้นลองคูณกระจายออกมาก่อน แล้วเช็คแต่ละเทอมที่ได้กับตัวประกอบของ 2550 สิครับ

ปล. บรรทัด กับ คูณ นะครับ

[faa]

ถามอีกนิดนะครับ ช่วยอธิบาย 1+2 และ 1+3 และ 1+5 +5x5 1+7 มีหลักการอะไรหรือมีสูตรอย่างไรถึงเขียนอย่างนี้ครับ 1มาจากไหน 2 มาจากไหน

[Onasdi]

ผมเดาว่า (1+5+25)(1+2+3+17+6+34+51+102) คือเค้าเอาพวกนั้นบวกกันหมดตรงๆเลยครับ แต่เค้าเห็นว่าดึงตัวร่วม (1+5+25) ได้ ก็เลยดึงออกมาครับ

สูตรคือ ผลคูณของ (1+p+p²+...+p^a-1) เมื่อ a เป็นกำลังของ p

[nongtum]

#3 หากได้ลองคูณกระจายแล้ว จะเห็นว่าแต่ละเทอมที่ได้คือตัวประกอบของ 2550 ครับ

ส่วนทำไมต้องเขียนแบบนั้น ลองพิจารณาตามนี้ก่อนนะครับ

ให้ $p_1,p_2,\dots,p_n$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $k_1,k_2,\dots,k_n$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
1. ตัวประกอบทั้งหมดของ $p_1^{k_1}$ คือ ... รวมทั้งสิ้น ... ตัว มีผลบวกเท่ากับ ...
2. ตัวประกอบทั้งหมดของ $p_2^{k_2}$ คือ ... รวมทั้งสิ้น ... ตัว มีผลบวกเท่ากับ ...
3. ตัวประกอบทั้งหมดของผลคูณ $p_1^{k_1}$ คือ ... รวมทั้งสิ้น ... ตัว มีผลบวกเท่ากับ ...
(ตรงนี้เพื่อความง่าย อาจลองทดโดยใช้ $k_1,\ k_2$ น้อยๆ ลองคูณกระจายแล้วจัดรูปแยกตัวประกอบดูก่อนก็ได้ครับ)
4. จะสรุปในกรณีทั่วไปได้อย่างไร

[faa]

ขอบคุณครับ