คอมบิฯ ที่รร.ของกระผม(ไม่ง่ายนะ)

[square1zoa]

นักกีฬา $2^n$ เข้าเเข่งชิงชนะเลิศเเบบทัวร์นาเมนท์ (จับคู่เเมทช์ละ $2$ คน เเพ้คัดออก) ถ้านักกีฬา $A$ มีความน่าจะเป็นที่จะชนะนักกีฬาคนอื่นเเต่ละคนเป็น $p,0<p<1$ เเละนักกีฬาคนอื่นนอกเหนือจาก $A$ มีความสามารถเท่ากันหมดจงหา
1. ความน่าจะเป็นที่ $A$ จะชนะเลิศ
2. ความน่าจะเป็นที่นักก๊ฬาคนหนึ่ง (สมมติว่าเป็น $B$ )ซึ่งไม่ใช่คนเดียวกับ $A$ จะชนะเลิศ

[square1zoa]

อีก1ข้อ

ให้ $n\in \mathbb{N} $ เมื่อโยนลูกเต๋า $2n$ ครั้ง ถ้าให้ $p_n$ คือความน่าจะเป็นที่จะออกเเต้มคู่ตั้งเเต่ $n$ ครั้งขึ้นไป
จงพิสูจน์ว่า $$p_n\geqslant \frac{1}{2} +\frac{1}{4n} $$

[Ai-Ko]

ขอลองข้อหลังก็แล้วกันนะเจ้าคะ... ถ้าให้ $O$ แทนความหมายที่ว่าโยนลูกเต๋าตานั้นได้เลขคี่ และ $E$ แทนตานั้นได้เลขคู่ จะได้ว่าผลที่เราสนใจก็คือลำดับของ $E$ และ $O$ ความยาว $2n$ ซึ่งมี $E$ อย่างน้อย n ตัวขึ้นไป ซึ่งจำนวนลำดับดังกล่าวมีอยู่
$$\binom{2n}{n}+\binom{2n}{n+1}+\ldots+\binom{2n}{2n}=\frac{2^{2n}+\binom{2n}{n}}{2}$$
(จาก $\sum_{k = 0}^{2n}\binom{2n}{k}=2^{2n}$)
ดังนั้น
$$p_n=\frac{1}{2^{2n}}\frac{2^{2n}+\binom{2n}{n}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2n+1}}\binom{2n}{n}$$

เราจะพิสูจน์โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่าพจน์หลังมีค่ามากกว่า $\frac{1}{4n}$
ก่อนอื่นแทนค่า $n=1$ เห็นได้ชัดว่าเป็นจริง
ต่อไป สมมติว่า $$\frac{1}{2^{2n+1}}\binom{2n}{n}\geqslant \frac{1}{4n}$$
จะได้ว่า
$$\frac{1}{2^{2n+3}}\binom{2n+2}{n+1}=\frac{2n+1}{2(n+1)}\frac{1}{2^{2n+1}}\binom{2n}{n}\geqslant \frac{2n+1}{2(n+1)}\frac{1}{4n}=\frac{2n+1}{2n}\frac{1}{4(n+1)}\geqslant \frac{1}{4(n+1)}$$
จึงได้ว่า $p_n\geqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{4n}$ เจ้าค่ะ

[square1zoa]

ถูกต้องเเล้วครับ อุตส่าห์นำหลายๆๆๆอย่างมารวมกัน เก่งจริงๆครับ อยากรู้จักเ+งการส่วนตัว

[square1zoa]

ข้อเเรกง่ายกว่านะคร้าฟ

[square1zoa]

งั้นเพิ่มอีกข้อครับ

ให้ $p_n(a)$ คือความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนลูกเต๋าติดต่อกันเรื่อยๆ จนกระทั้งครั้งที่ $n$ เเล้วผลรวมของเเต้มที่ออกทั้งหมดมากกว่า $a$
1. จงหา $p_2(a)$
2. จงหา $p_{n+1}(a)$ ในรูปของ$p_n(a),p_{n-1}(a),...$ เมื่อ $a>6$

[square1zoa]

กระทู้นี้เงียบจัง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

นักกีฬา $2^n$ เข้าเเข่งชิงชนะเลิศเเบบทัวร์นาเมนท์ (จับคู่เเมทช์ละ $2$ คน เเพ้คัดออก) ถ้านักกีฬา $A$ มีความน่าจะเป็นที่จะชนะนักกีฬาคนอื่นเเต่ละคนเป็น $p,0<p<1$ เเละนักกีฬาคนอื่นนอกเหนือจาก $A$ มีความสามารถเท่ากันหมดจงหา
1. ความน่าจะเป็นที่ $A$ จะชนะเลิศ
2. ความน่าจะเป็นที่นักก๊ฬาคนหนึ่ง (สมมติว่าเป็น $B$ )ซึ่งไม่ใช่คนเดียวกับ $A$ จะชนะเลิศ

1. $p^n$

2. $\dfrac{3-2p}{2^n}$

[square1zoa]

คำตอบข้อ2 ยังไม่ถูกครับ

[Timestopper_STG]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

2. ความน่าจะเป็นที่นักก๊ฬาคนหนึ่ง (สมมติว่าเป็น $B$ )ซึ่งไม่ใช่คนเดียวกับ $A$ จะชนะเลิศ

$\dfrac{1-p^{n}}{2^{n}-1}$

[square1zoa]

เอ่อ ถ้าเป็นไปได้ อยากให้เป็นวิธีทำนะครับ คำถามใน #6 ไม่มีใครทำเลยเหรอครับ ทำไม่ได้จริงๆ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

งั้นเพิ่มอีกข้อครับ

ให้ $p_n(a)$ คือความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนลูกเต๋าติดต่อกันเรื่อยๆ จนกระทั้งครั้งที่ $n$ เเล้วผลรวมของเเต้มที่ออกทั้งหมดมากกว่า $a$
1. จงหา $p_2(a)$
2. จงหา $p_{n+1}(a)$ ในรูปของ$p_n(a),p_{n-1}(a),...$ เมื่อ $a>6$

1. $p_2(a)= \cases{\dfrac{(9-a)(8+a)}{72} & , 0\leq a \leq 6 \cr \dfrac{(13-a)(12-a)}{72} & , 7\leq a\leq 12}$

และเป็น $0$ ถ้า $a\geq 12$

2. $p_{n+1}(a)=\dfrac{p_{n}(a-1)+p_{n}(a-2)+p_{n}(a-3)+p_{n}(a-4)+p_{n}(a-5)+p_{n}(a-6)}{6}$

ลองเอาไปคิดต่อดูครับ ผมนับไม่ค่อยเก่ง

[square1zoa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

1. $p_2(a)= \cases{\dfrac{(9-a)(8+a)}{72} & , 0\leq a \leq 6 \cr \dfrac{(13-a)(12-a)}{72} & , 7\leq a\leq 12}$

และเป็น $0$ ถ้า $a\geq 12$

2. $p_{n+1}(a)=\dfrac{p_{n}(a-1)+p_{n}(a-2)+p_{n}(a-3)+p_{n}(a-4)+p_{n}(a-5)+p_{n}(a-6)}{6}$

ลองเอาไปคิดต่อดูครับ ผมนับไม่ค่อยเก่ง

ความจริง ผมคิด1.กรณีที่มากกว่า 6 ไม่ได้ สำหรับน้อยกว่าหรือเท่ากับ 6 ผมคิดได้(ไม่ชัวร์นะ) $x(13-x)/72$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

ความจริง ผมคิด1.กรณีที่มากกว่า 6 ไม่ได้ สำหรับน้อยกว่าหรือเท่ากับ 6 ผมคิดได้(ไม่ชัวร์นะ) $x(13-x)/72$

ไม่น่าจะจริงนะครับ เำพราะเห็นได้ชัดว่า ถ้า $a=1$ ความน่าจะเป็นจะเป็น $1$ แต่ถ้าแทนตามสูตรนี้แล้วได้ $\dfrac{1}{6}$ ครับ

[square1zoa]

แหะๆๆๆๆๆ งงเอง