คำถามเกี่ยวกับหาปริมาตรคับ

[nattaphon]

ลูกทรงกลมตัน เส้นผ่านศูนย์กลาง 3 ซม

เอา สว่านเส้นผ่านศูนย์กลาง 2 ซม มาเจาะทะลุตรงกลาง ของทรงกลมนั้น

อยากทราบว่า ปริมาตรที่ถูกเจาะไป เป็นเท่าใด ??? ใครคิดออก ชี้แนะ ที คับ

[[SIL]]

ที่ต้องแยก คำตอบออกเป็น 2 ตอนเพราะมันเกิดปัญหาอะไรไม่ไม่รู้ครับทำมห้อ่านภาษาลาเท็กส์ไม่ได้

Hint

หาส่วนสูงของสว่านให้เจอแล้วลบออกจากปริมาตรวงกลม

Soltion

มุขเด็ดคือปริมาตรสว่าน ความสูงของสว่านคือ 3 เซนต์เพราะมันแทงทะลุทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 3 เซนต์
ปริมาตรทรงกลม
$= \frac{4}{3}\pi r^3$
$= \frac{4}{3}\pi(\frac{3}{2})^3$
$= \frac{4}{3}\pi\frac{27}{8}$
$= \frac{9}{2}\pi$
ปริมาตรสว่าน
$= \pi r^2h
$= 3\pi$

Last Soltion

ปริมาตรที่เหลือ
$= \frac{9}{2}\pi - 3\pi $
$= \frac{3}{2}\pi$

[nattaphon]

ผิวตัด ของทรงกระบอกที่ถูกสว่านเจาะลงไป หน้าตัดของทรงกระบอก คิดว่าคงไม่ เรียบ อ่าคับ มันจะนูนๆ ตาม ทรงกลมตันอ่าคับ

[[SIL]]

อ่อประทานโทษลืมไปครับ
พท. ผิวของส่วนที่โดนตัด
$= 4\pi \times r^2 $
$=4\pi ----(1) $
มาดูความสัมพันธ์ พท.ผิวกับปริมาตรเป็น
$k \times 4\pi r^2 =\frac{4}{3}\pi r^3$
$k =\frac{1}{3} r$
จะได้ ปริมาตร $= \frac{1}{3}\times รัศมี \times พท.ผิว$

จาก $----(1)$
จะได้ปริมาตรส่วนนั้นเป็น
$= \frac{1}{3}\times 1 \times 4\pi$
$= \frac{4\pi}{3}$

จาก Last Solution ก็เอามาบวกอีก $\frac{4\pi}{3}$ เป็น
$= \frac{3\pi}{2}+\frac{4\pi}{3}$
$= \frac{(9+8)\pi}{6}$
$= \frac{17\pi}{3}$

ที่คิดอย่างนี้ได้ก็เพราะส่วนที่โดนตัดก็คือ ครึ่งทรงกลมลดลงไป m เท่าครับ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

อ่อประทานโทษลืมไปครับ
พท. ผิวของส่วนที่โดนตัด
$= 4\pi \times r^2 $
$=4\pi ----(1) $

ทำยังไงครับ ไม่เข้าใจ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

จาก Last Solution ก็เอามาบวกอีก $\frac{4\pi}{3}$ เป็น
$= \frac{3\pi}{2}+\frac{4\pi}{3}$
$= \frac{(9+8)\pi}{6}$
$= \frac{17\pi}{3}$

ผมว่าถ้าได้มาแล้ว ไม่น่าจะเอามาบวกนะครับ เพราะว่า ตอนแรกเราคิดเกินไปนะครับ

[[SIL]]

คำถามแรก เพราะรัศมีเท่ากับ 1 อ่ะครับ (เส้นผ่านศูนย์กลาง = 2 ตอนนั้นมัน ตี 1 กว่าๆเลยไม่ได้ละเอียดเท่าไหร่)
คำถามที่ 2 เพราะตอนแรกผมคิดแค่ผิวเรียบครับ แต่มาคราวหลังต้องเอาผิวส่วนโค้งออกด้วย ก็เลยต้องนำมาบวกกันครับ
ทีแรกคิดแค่สีเหลืองครับ แต่ลืมไปว่ามันต้องคิดสีแดงด้วย

[Onasdi]

1: ยังไม่เข้าใจครับ เป็นพื้นที่ผิวส่วนไหนเหรอครับ แล้ว $4\pi r^2$ เป็นสูตรของทรงกลมไม่ใช่เหรอครับ
2: ความสูงของสีเหลืองมันน้อยกว่า 3 นะครับ

[[SIL]]

จ๊าก!! ลืมไปประทานโทษอย่างสูงครับพี่ Onasdi ผมว่าคงต้องพึ่ง ตรีโฏณแล้วกระมัง ปิทากอรัสจะเอาอยู่รึปล่าวยังไม่รู้

[passer-by]

ตรงส่วนที่เป็นสีแดงๆซึ่งเราเรียกว่า spherical cap คงต้องพึ่งแคลคูลัสแล้วล่ะครับ

ถ้า speherical cap สูง h และมาจากทรงกลมรัศมี r

จากสูตร solid of revolution เราจะได้ปริมาตรของ cap เท่ากับ $$ \pi \int_{r-h}^h (\sqrt{r^2-x^2})^2 \,\, dx = \frac{1}{3} \pi h^2 (3r-h) $$

สำหรับข้อนี้ ใช้ปีธาโกรัสหา h ได้ไม่ยากครับ

[[SIL]]

ข้อนี้ถึงกับต้องใช้ดิฟ(รึปล่าว)เลยหรอครับ ใช้ปีทากอรัสหาไม่ยากจริงๆด้วยผมลืมไปว่าเค้าให้เส้นผ่านศูนย์กลางทรงกระบอกมา

[passer-by]

มันไม่ได้หมายความว่า ต้องอินทิเกรตอย่างเดียวหรอกครับ เพียงแต่ว่าเป็นวิธีเร็วที่สุดที่ผมคิดออกตอนนี้

วิธีแบบ solid geometry ก็เคยผ่านตาอยู่เหมือนกันครับ เพียงแต่ไม่รู้เห็นในเล่มไหน