มีโจทย์พหุนาม และจำนวนจริง มาถามครับ

[Yo WMU]

1. จงหาค่าของ x จาก
$ x^3 - 3x^2 -3x - 1 = 0 $

2. จงหาค่าของ $ (-1)^\sqrt{5} $

รบกวนท่านผู้รู้ด้วยนะครับ ขอบคุณมากครับ

[LightLucifer]

ข้อสองผมว่ามันจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเอานะครับ อาจจะเป็นประมาณนี้อ่ะครับ
$(-1)^{\sqrt{5}}=(-1)^{5^{\frac{1}{2}}}=(-1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-1}$
พอลองเข้าโปรแกรมไปพลอตกราฟดูก็ตามนั้นอ่ะครับ

[หยินหยาง]

โจทย์ของ ม.ต้นหรือครับ ผมแนะข้อ 1.ให้ก่อนก็แล้วกันส่วนข้อ 2 รอท่านอื่นมาช่วยนะครับ
จากโจทย์จัดรูปใหม่จะได้ว่า $(x-1)^3-6(x-1)-6 =0$ ต่อจากนั้นก็แปลงร่างอีกทีเป็น $A^3-6A-6 = 0$
ซึ่งอยู่ในรูปของสมการคาร์ดาน จะได้ค่าจริง 1 ราก และเชิงซ้อนอีก 2 ราก
ค่าจริงก็คือ $A = 2^{\frac{1}{3}}+ 2^{\frac{2}{3}}$ ต่อจากนั้นก็หาค่า x ได้ไม่ยากครับ

[Yo WMU]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อสองผมว่ามันจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเอานะครับ อาจจะเป็นประมาณนี้อ่ะครับ
$(-1)^{\sqrt{5}}=(-1)^{5^{\frac{1}{2}}}=(-1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-1}$
พอลองเข้าโปรแกรมไปพลอตกราฟดูก็ตามนั้นอ่ะครับ

รบกวนคุณ LightLucifer ช่วยอธิบายด้วยว่าทำไม

$ (-1)^{5^{\frac{1}{2}}}=(-1)^{\frac{1}{2}}$ ผมยังไม่เข้าใจ เลยทำต่อไม่ได้ครับ

ขอบคุณค้าบ

[Julian]

$(-1)^5 \ = \ -1 ครับ$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อสองผมว่ามันจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเอานะครับ อาจจะเป็นประมาณนี้อ่ะครับ
$(-1)^{\sqrt{5}}=(-1)^{5^{\frac{1}{2}}}=(-1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-1}$
พอลองเข้าโปรแกรมไปพลอตกราฟดูก็ตามนั้นอ่ะครับ

ผมว่าไม่น่าจะใช่นะครับ เพราะคำตอบจากท่านก้าของผมเป็นแบบนี้ครับ ${x -> 0.737369+ 0.67549 i }$

[LightLucifer]

จริงด้วยสินะครับ ผมผิดไปแล้วแงๆๆๆๆๆๆๆ ยกโทษให้ด้วยนะครับ ตอนแรกเมาคิดว่าอยู่ในรูปที่ใช้ $(x^m)^n=(x^n)^m$ เง้อๆๆๆ แต่ตอนพลอตกราฟมันจริงๆนะครับ

[Yo WMU]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

โจทย์ของ ม.ต้นหรือครับ ผมแนะข้อ 1.ให้ก่อนก็แล้วกันส่วนข้อ 2 รอท่านอื่นมาช่วยนะครับ
จากโจทย์จัดรูปใหม่จะได้ว่า $(x-1)^3-6(x-1)-6 =0$ ต่อจากนั้นก็แปลงร่างอีกทีเป็น $A^3-6A-6 = 0$
ซึ่งอยู่ในรูปของสมการคาร์ดาน จะได้ค่าจริง 1 ราก และเชิงซ้อนอีก 2 ราก
ค่าจริงก็คือ $A = 2^{\frac{1}{3}}+ 2^{\frac{2}{3}}$ ต่อจากนั้นก็หาค่า x ได้ไม่ยากครับ

คุณหยินหยางครับ ผมต้องรบกวนให้ทำละเอียดกว่านี้ด้วยครับ รู้สึกจะยากอ่ะครับ ได้โปรดๆ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yo WMU

คุณหยินหยางครับ ผมต้องรบกวนให้ทำละเอียดกว่านี้ด้วยครับ รู้สึกจะยากอ่ะครับ ได้โปรดๆ

ไม่รู้จะเริ่มอย่างไงดี เพราะต้องถามก่อนว่าแก้สมการกำลังสามโดยวิธีของคาร์ดานเป็นหรือไม่ เพราะผมเข้าใจว่า trick ของข้อนี้อยู่ที่การจัดรูปใ้ห้อยู่
ในรูปแบบของสมการคาร์ดานซึ่งผมก็ทำไปละเอียดแล้ว ส่วนขั้นตอนต่อไปถ้าไม่รู้วิธีการแก้ของคาร์ดานจะอธิบายในที่นี้คงไม่สะดวกและไม่ง่ายนัก ผมแนะนำให้อ่านจากหนังสือพิชคณิตของ สอวน. หรือเล่มไหนก็ได้ หรือดูจากเว็บใน MC ดูได้จากที่นี่ครับ
http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra07p02.shtml

[owlpenguin]

$(-1)^\sqrt{5}=(e^{i\pi})^\sqrt{5}=e^{\sqrt{5}i\pi}=e^{(\sqrt{5}-2)i\pi}=\cos{(\sqrt{5}-2)\pi}+i\sin{(\sqrt{5}-2)\pi}$
ซึ่งมีค่าประมาณ $0.737369+0.67549i$