อนุกรม P

[-InnoXenT-]

อยากทราบว่าทำไม อนุกรม $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ ... + \frac{1}{n}$ เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนท์ มีวิธีพิสูจน์มั๊ยครับ

แล้วทำไม $\frac{1}{1^m}+\frac{1}{2^m}+\frac{1}{3^m}+...+\frac{1}{n^m}$ เมื่อ $ m > 1$เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนท์ -*- ขอวิธีพิสูจน์ด้วย

แล้วก็ฝากโจทย์ข้อนี้ด้วยครับ

$\frac{\frac{1}{1^3}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+...}{\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+...} = ??$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

$\frac{\frac{1}{1^3}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+...}{\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+...} = ??$

ไม่รู้ถูกป่าวนะครับ ให้ $\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...=n$
$\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{6^3}+\frac{1}{8^3}+...=\frac{n}{8}$
จะได้ $\frac{1}{1^3}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+...=n-2(\frac{n}{8} )$
และ$\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+...=n-\frac{n}{8} $
$\frac{\frac{1}{1^3}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+...}{\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+...} = \frac{n-2(\frac{n}{8} )}{n-\frac{n}{8}}=\frac{6}{7} $

[[SIL]]

ข้อ 1 ผมว่าเป็นคอนเวอร์เจนท์นะครับ
ข้อ 2 ให้ $S = 1+\frac{1}{2^m}+\frac{1}{3^m}+...$
น่าจะพิสูจน์ว่า $\frac{1}{n^m}>\frac{1}{(n+1)^m}$ ทุก $n\in N$ และ $m>1$
ข้อ 3 ได้ $\frac{6}{7}$ เท่าคุณ light ครับ
มีหลายวิธีคิดนะครับข้อนี้
= $.\frac{\frac{1}{1^3}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+...}{\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3+...}}-1+1$
= $.\frac{-\frac{1}{2^3}-\frac{1}{4^3}-\frac{1}{6^3}-...}{\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3+...}}+1$
= $.(\frac{\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+...}{-\frac{1}{2^3}(\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+...)})^{-1}+1$
= $.\frac{6}{7}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

อยากทราบว่าทำไม อนุกรม $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ ... + \frac{1}{n}$ เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนท์ มีวิธีพิสูจน์มั๊ยครับ

แล้วทำไม $\frac{1}{1^m}+\frac{1}{2^m}+\frac{1}{3^m}+...+\frac{1}{n^m}$ เมื่อ $ m > 1$เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนท์ -*- ขอวิธีพิสูจน์ด้วย

แล้วก็ฝากโจทย์ข้อนี้ด้วยครับ

$\frac{\frac{1}{1^3}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+...}{\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+...} = ??$

วิธีมาตรฐานที่ใช้กันคือ Integral Test

สำหรับ กรณี $p=1$ สามารถพิสูจน์โดยการใช้อสมการก็ได้

สังเกตว่า

$1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}=1+\dfrac{1}{2}+\Big(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\Big)+\Big(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1 }{7}+\dfrac{1}{8}\Big)+\cdots+\Big(\dfrac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\Big)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~>1+\dfrac{1}{2}+\Big(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\Big)+\Big(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1} {8}\Big)+\cdots+\Big(\dfrac{1}{2^n}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\Big)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=1+\underbrace{\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2}}_{n}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=1+\dfrac{n}{2}$

ให้ $n\to\infty$ จะได้ว่า

$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots = \infty$

[[SIL]]

ลู่ออกหรอเนี่ย ขอบคุณสำหรับวิธีคิดครับ