การประมานค่า e

[M@gpie]

แบ่งช่วง (0,1) ออกเป็น N ช่วงเท่าๆกัน แล้วสุ่มตัวเลขแบบเอกรูปต่อเนื่องในช่วง (0,1) มา N ตัวแล้วนับจำนวน Z ของช่องที่ไม่มีตัวเลขตกอยู่เลย จงพิสูจน์ว่าเราสามารถประมาณค่า e ได้จาก N/Z เมื่อ N มีค่ามากๆ
ยังไม่ขอเฉลยนะครับแต่เริ่มยังไงดีครับ ขอ hint หน่อยง่ะ

[gon]

อ่านโจทย์งงน่ะครับ. โจทย์บอกว่า " แบ่งช่วง (0,1) ออกเป็น N ช่วงเท่าๆกัน "
ก็แสดงว่า บนเส้นจำนวนจะมีจำนวนตั้งแต่ \( 0, \frac{1}{N}, \frac{2}{N}, \cdots , \frac{N-1}{N}, 1 \, \) รวมทั้งสิ้น N + 1 จำนวน (แต่ถ้าไม่นับ 0 กับ 1 ก็จะเหลือแค่ N - 1 จำนวน)

จากนั้น " สุ่มตัวเลขแบบเอกรูปต่อเนื่องในช่วง (0,1) มา N ตัว "
คำว่าเอกรูปนี่ขอไม่แปลความหมายนะครับ. เพราะไม่เคยได้ยิน เอาเป็นว่าหยิบจำนวนมา N ตัว ก็ถ้าถือว่ามีจำนวนทั้งหมดอยู่ N + 1 จำนวน หยิบมา N ตัว ก็จะเหลือ 1 ตัว

" แล้วนับจำนวน Z ของช่องที่ไม่มีตัวเลขตกอยู่เลย " ตรงนี้เริ่มไม่เข้าใจแล้วครับ. นับยังไง งง. แต่อย่างไรถ้าเข้าใจโจทย์ได้ถูก ก็คงไม่แคล้วนิยามของ e ครับ. คือ \( e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^n \)

[M@gpie]

คำว่าสุ่มแบบเอกรูปต่อเนื่องหมายถึง เราสามารถสุ่มเลขใดๆก็ได้ในช่วง (0,1) น่ะคับ และมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกันทุกจำนวนเป็นทศนิยมก็ได้ ส่วน Z คือจำนวนช่วงที่ไม่มีเลขที่สุ่มมาตกอยู่เลย

จากการ simulate โปรแกรมดูนะคับ พบว่า ค่าเฉลี่ยของ Z มีค่าประมาณ N/e เมื่อ N มาก ๆ
ดังนั้นจะทำให้อัตราส่วน N/Z เข้าใกล้ e เมื่อ N มากๆ
แต่ว่าพิสูจน์ทางทฤษฏียังไม่ออกเลยคับ