ข้อสอบ TUMSOs บางข้อที่ยากๆ -*-

[-InnoXenT-]

1. จงหา จำนวนเฉพาะ $(p,q,r,s)$ ที่ $p\geqslant q \geqslant r \geqslant s $ และ
$pqrs = p + q + r + s + 1834$

2. $A = \frac{1}{\sqrt[3]{1000}} + \frac{1}{\sqrt[3]{1001}} + \frac{1}{\sqrt[3]{1002}} + ... + \frac{1}{\sqrt[3]{1000000}}$
จงหา $\left\lfloor\ \frac{A}{4} \right\rfloor $

3. จงหาคู่อันดับของจำนวนนับ $(n,k)$ ทั้งหมดที่ทำให้

$\frac{2(kn-1)}{n+1}$ และ $\frac{6kn-1}{2k-1}$

เป็นจำนวนเต็มทั้งสองจำนวน (ข้อนี้ ผมคิดได้ 2 ตัวคือ $(1,1),(3,7)$ มาจากการไล่แทนค่าไปเรื่อยๆ ไม่รู้ว่ามีตัวอื่นอีกมั๊ย ถ้ามีวิธีคิด ช่วยแสดงให้ด้วย จะกรุณามากครับ T T)

4. กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน ซึ่ง $ab+ac+bc > 0$
จงหาค่าต่ำสุดของ

$\frac{(a^2+b^2+c^2)^4}{(ab+ac+bc)(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}$

5. ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดของ

$\frac{x^2}{(4x-3y-z)^2} + \frac{y^2}{(4y-3z-x)^2} + \frac{z^2}{(4z-3x-y)^2}$

โดยเฉพาะข้อ 4 กับ 5 อ่ะครับ ยังหาวิธีเริ่มต้นไม่ได้เลย

จะว่าไป ข้อ 1 กับ 2 ก็เหมือนกันเนอะ ถ้ามีวิธีคิด ช่วยใบ้ หรือแสดงให้ดูทีครับ รบกวนด้วย

[warutT]

ข้อ 5 ผมว่าใช้ modified Cauchy-Schwarz Inequality นะครับ
เดี๋ยวว่างๆผมจะลองคิดแล้วมาเฉลยนะครับ

[Anonymous314]

แน่ใจเหรอครับ มันไม่ง่ายอย่างที่คิดนะครับผม

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warutT

ข้อ 5 ผมว่าใช้ modified Cauchy-Schwarz Inequality นะครับ
เดี๋ยวว่างๆผมจะลองคิดแล้วมาเฉลยนะครับ

ถ้าคุณ warutT ใช้ modified Cauchy-Schwarz Inequality แล้วทำข้อ 5 ได้ผมก็ใคร่อยากดูวิธีทำมากๆๆๆๆเลยแหล่ะครับ

[square1zoa]

1.ไม่มีผลเฉลยมั้ง แยกเป็น 2 กรณี คือมี2และไม่มี 2

[warutT]

ขอโทษครับ
ผมไปเช็คแล้วมันทำไม่ได้ครับ
คงต้องหาวิธีอื่นแล้วครับ

[Anonymous314]

ข้อ 4 ตอบอะไรครับ
ให้ผมเดาผมตอบ 64

[Anonymous314]

รบกวนเซียน...
ขอ hint ข้อ 4 หน่อยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314

รบกวนเซียน...
ขอ hint ข้อ 4 หน่อยครับ

ยังไม่ได้คิดข้อนี้เลยครับ ลองดูเฉลยข้อสามในนี้ครับ เผื่อช่วยได้

IMO2006

[Platootod]

ข้อสองช่วยผมหน่อยคับผมเคยเจอแต่รูทสองคับ