|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
หา k ที่มากที่สุด
จงหา $k\in\mathbb{R}$ ที่มากที่สุดที่สอดคล้องอสมการ
$$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^k\geq2$$สำหรับทุก $a,b,c\geq0$
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน |
#2
|
||||
|
||||
จริงๆผมคิดว่าให้ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 อีกสองตัวเป็น 1 ก็น่าจะจริงทุก k>0 นะครับ
ผมลองเขียนวิธีมา ไม่แน่ใจนะครับ ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่าตรงไหนผิดช่วยแก้ให้ด้วยนะครับ $$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^k\geq2$$ เป็น Homogenous function เลือก $t=\dfrac{1}{a+b+c}$ ให้ $x= \dfrac{a}{a+b+c}$ $y= \dfrac{b}{a+b+c}$ $z= \dfrac{c}{a+b+c}$ จะพิจารณาอสมการ $$\sum_{cyc}\left(\frac{x}{y+z}\right)^k\geq2,x+y+z=1$$ AM-GM Inequality, $$\sum_{cyc}\left(\dfrac{x+(y+z)}{2}\right) \geq \sum_{cyc}(\sqrt{x(y+z)})$$ $$\sum_{cyc}\left(\dfrac{1}{2x}\right)\geq \sum_{cyc}\left(\sqrt{\dfrac{y+z}{x}}\right)$$ $$\sum_{cyc}\left(\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}\right) \geq \sum_{cyc}(2x)$$ $$\sum_{cyc}\left({\dfrac{x}{y+z}}\right)^k \geq \sum_{cyc}(2^kx^k)$$ สมมติว่ามี k>1 ที่สอดคล้องอสมการ Powermean Inequality, $x^k+y^k+z^k \geq 3(\dfrac{x+y+z}{3})^k=\dfrac{1}{3^{k-1}}$ $\sum_{cyc}\left({\dfrac{x}{y+z}}\right)^k \geq 2^k\sum_{cyc}(x^k) \geq 3^{k-1}2^k \geq 2$ $\therefore 3^{k-1}2^{k-1} \geq 1$ หาค่า max{k} ไม่ได้
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! 22 พฤษภาคม 2009 22:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warutT |
#3
|
||||
|
||||
เขาให้หา $\max(k) \in \mathbb{R}$ นะค่ะ
__________________
$$\int_0^1 {\frac{1}{{{x^x}}}} dx =\frac{1}{1^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+... = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^n}}}} $$ 22 พฤษภาคม 2009 22:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ WLOG |
#4
|
||||
|
||||
ขอโทษครับ ผมเข้าใจว่าเป็นจำนวนนับ จะลองคิดดุใหม่ครับ
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
เท่าที่รู้ก็คือมันเห็นได้ชัดว่าถ้ามีตัวนึงเป็น $0$ จะได้ว่า $$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^k\geq2$$ ทันที คราวนี้ก็เพียงพอที่จะพิจารณาเมื่อ $a,b,c>0$ แทนค่า $a=b=c$ ได้ว่า LHS$=3\left(\frac{1}{2}\right)^k$ เพื่อที่ว่า $LHS\geq 2$ ดังนั้น $3\left(\frac{1}{2}\right)^k\geq 2$ $\Leftrightarrow k\leq\log_{2}{3}-1$ มีคำถามเพื่ม ไม่รู้ว่าอาจจะเป็น hint สำหรับใครหรือเปล่า เลยซ่อนไว้ก่อนครับ เป็นไปได้หรือไม่ว่า เราจะแสดงว่า $$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^k\geq3\left(\frac{1}{2}\right)^k$$สำหรับทุก $a,b,c>0$;$k>0$
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน |
#6
|
||||
|
||||
ผมได้ว่า
$$\max(k)=\log_23-1$$ Hint: \[{\left( {\frac{a}{{b + c}}} \right)^k} + {\left( {\frac{b}{{c + a}}} \right)^k} + {\left( {\frac{c}{{a + b}}} \right)^k} \ge \min \left( {2,\frac{3}{{{2^k}}}} \right)\] for $k \in (0,1)$ 01 มิถุนายน 2009 20:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Anonymous314 |
|
|