อนุกรมและสมการครับ

[Jew]

1.จงแสดงว่า$\frac{x^{9999}+x^{8888}+x^{7777}+x^{6666}+x^{5555}+x^{4444}+x^{3333}+x^{2222}+x^{1111}+1}{x^9+x^8+x^7+........+x+1}$ เป็นจำนวนเต็ม
2.จงหาค่าของ
$\frac{(1^4+\frac{1}{4} )(3^4+\frac{1}{4} ).............((2n-1)^4+\frac{1}{4}) }{(2^4+\frac{1}{4} )(4^4+\frac{1}{4} ).............((2n)^4+\frac{1}{4}) }$

[nooonuii]

2. $x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)$.

$y=\dfrac{1}{2}$

[picmy]

สำหรับข้อ 1 นะคับ
กำหนดให้ $ K= \frac{x^{1111}-1}{x-1} = x^{1110}+x^{1109}+...+x+1 ,$
$a = x^{9999}+x^{8888}+x^{7777}+...+x^{1111}+1 $
และ $b = x^9+x^8+x^7+...+x+1 $
ต้องการแสดงว่า $ \frac{a}{b}$เป็นจำนวนเต็ม
ก่อนอื่นลองพิจารณา $\frac {aK}{b}= \frac{(x^{9999}+x^{8888}+x^{7777}+...+x^{1111}+1)(x^{1111}-1)}{(x^9+x^8+x^7+...+x+1)(x-1)}$
$= \frac{x^{11110}-1}{x^{10}-1}$
ซึ่งเนื่องจาก $(x^{10}-1) | (x^{11110}-1)$ ดังนั้น $\frac {aK}{b}$เป็นจำนวนเต็ม
ถ้าเราแสดงได้ว่า $gcd(K,b)=1$ (ในที่นี้ $gcd(K,b)$ แทนตัวหารร่วมมากของ K,b) เราก็จะได้ว่า $b | a$
จาก $ K= x^{1110}+x^{1109}+...+x+1 ,b = x^9+x^8+x^7+...+x+1$
สามารถใช้การตั้งหารธรรมดาเพื่อแสดงว่า $gcd(K,b)=1$
ดังนั้น เราจึงได้ว่า $b | a$ นั่นคือ $\frac{a}{b}$ เป็นจำนวนเต็ม

สำหรับท่านที่ต้องการเช็คคำตอบข้อ 2
คำตอบคือ $\frac{1}{8n^2+4n+1}$ คับ

[LightLucifer]

ข้อ 1 คูณ (x-1) บนล่างแล้วยัดเศษเหลือก็น่าจะได้ครับ