ช่วยคิดโจทย์ 3 ข้อทีครับ...

[HIGG BOZON]

เป็นโจทย์จากเวปนี้ที่ผมสงสัย...แต่ไม่มีคนมาเฉลยอ่าครับ...เลยเอาโพสรวมไว้เลยครับ...ใครช่วยเฉลยวิธีคิดและคำตอบด้วยครับ

1. ( จาก MCT รอบ1 ปีนี้) จงหาค่าของ $\frac{-xy}{z}$ จากสมการ
$(5x^2+15x+25)(6y^2+8y+4)(5z^2+2z+2)=33$
2. ( จาก MCT รอบ1 ปีนี้) กำหนดให้ N เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เกิน $2,552$ หลัก ซึ่งทุกหลักของ N ประกอบด้วยเลขโดด $2$ หรือ $5$ เท่านั้น ถ้าให้ S แทนผลบวกของ N ทุกจำนวน แล้ว $25$ หาร S เหลือเศษเท่าใด
3. ( จากโจทย์สอวน. ศูนย์มช. ปีนี้) นิยาม $P(n)$ คือผลคูณของเลขโดดทุกหลักของ $n$ โดยไม่คูณ $0$
เช่น $P(123)=6$ , $P(230)=6$ จงหาค่าของ $P(1)+P(2)+P(3)+....+P(999)$

[Onasdi]

ข้อ 1 สังเกตว่าค่าต่ำสุดของสามวงเล็บนั้นคูณกันได้ 33 ครับ

ข้อ 2 ถ้ารู้ว่า S หารด้วย 100 เหลือเศษอะไร ก็จะตอบได้ ดังนั้นจะหาสองหลักสุดท้้ายของ S ครับ
พิจารณาหลักหน่วยของ N ก่อน
ถ้า N มี 1 หลัก มี N ที่มีหลักหน่วยเป็น 2 อยู่ 1 ตัว
ถ้า N มี 2 หลัก มี N ที่มีหลักหน่วยเป็น 2 อยู่ 2 ตัว
ถ้า N มี 3 หลัก มี N ที่มีหลักหน่วยเป็น 2 อยู่ 4 ตัว
ถ้า N มี 4 หลัก มี N ที่มีหลักหน่วยเป็น 2 อยู่ 8 ตัว
จึงได้ว่ามี 2 ปรากฎในหลักหน่วยอยู่ 1+2+4+8+...+2²⁵⁵¹=2²⁵⁵²-1 ตัว
ด้วยความสมมาตร 5 ก็จะปรากฎในหลักหน่วย 2²⁵⁵²-1 ตัว เช่นกัน
ส่วนในหลักร้อย 2 และ 5 จะปรากฎอย่างละ 2²⁵⁵²-2 ตัว
ดังนั้น S มีสองหลักสุดท้ายเหมือนกับ (2+5)(2²⁵⁵²-1)+(20+50)(2²⁵⁵²-2)=77x2²⁵⁵² - 147 ตัว
จึงได้ S $\equiv$ 77x2²⁵⁵² - 147 (mod 25)
จาก 2²⁰ $\equiv$ 1 (mod 25)
ได้ S $\equiv$ 2x2^2540+12 - (-3) $\equiv$ 2¹³+3 $\equiv$ 20 (mod 25)

ข้อ 3 ผมตอบไปแล้วในนี้ครับ http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=8494&page=2
ถ้าไม่เข้าใจถามได้ครับ

[HIGG BOZON]

ขอบคุณคุณ Onasdi มากเลยครับ

ข้อ 1 เข้าใจแล้วครับ....ตอบ $5$ ใช่มั้ยครับ ผมคิดได้ $x = -\frac{3}{2}$ , $y = -\frac{2}{3}$
และ $z = -\frac{1}{5}$

ข้อ 2 เข้าใจกระบวนการคิดแล้วครับ แต่สงสัยตรงที่ว่าเมื่อเรารู้เลขโดดสองหลักท้ายสุด แปลว่ามัน $mod(100)$
ไม่ใช่เหรอครับ...ทำไมเปลี่ยนไปเป็น $mod(25)$ ได้เลยล่ะครับ?????
ปล. ข้อนี้อยู่ในคำถามระดับมัยมต้น...เด็กมัธยมต้นเรียน Congruent กันแล้วเหรอครับเนี่ย???? หรือว่าผุ้ออกโจทย์มีวิธีคิดที่ง่ายกว่านี้มั้ยครับ....รู้สึกว่าจะเป็นของคุณ Scylla_Shadow นะครับ...รบกวนขอวิธีคิดที่ง่ายกว่านี้ (ถ้ามี) ด้วยครับ

ข้อ 3 เข้าใจแล้วครับ...คุณ Onasdi มองโจทย์เก่งจังเลยครับ....ผมคิดไม่ถึงเลยอ่าครับ...ว่าจะใช้วิธีนี้ได้

[Onasdi]

ข้อ 1 ถูกแล้วครับ
ข้อ 2 ใช้ความจริงที่ว่า ถ้า S $\equiv$ r (mod 100) แล้ว S $\equiv$ r (mod 25) ครับ
ไม่รู้เหมือนกันครับว่ามีวิธีง่ายๆรึเปล่า
ข้อ 3 ผมก็ว่ามันสวยดีครับ

[HIGG BOZON]

จริงด้วยสิครับ ถ้า $S\equiv r(mod100)$ แล้ว $S\equiv r(mod25)$
ว่าแต่คุณ Onasdi ช่วยพิสูจน์ข้อความนี้ให้ดูหน่อยได้มั้ยครับ...อย่างเห็นวิธีพิสูจน์อ่าครับ
ตอนนี้ผมรู้ว่าจริงเพราะลองแทนตัวเลขลงไปน่ะครับ

[Onasdi]

อ่า ได้เลยครับ
S $\equiv$ r (mod 100) $\Rightarrow$ 100|S-r $\Rightarrow$ 25|S-r $\Rightarrow$ S $\equiv$ r (mod 25)