ช่วยคิดโจทย์พีชคณิตกับ คอมบินาทอริก สองข้อนี้หน่อยฮะ

[Bius]

มันเป็นโจทย์ quiz ของ สอวน คณิต ค่าย1 ที่ศูนย์มอ.หาดใหญ่่ะครับ
ข้อแรกนี้ตั้ง 8 คะแนน วานช่วยคิดหน่อยนะครับ

1. ให้ \[
a + b + c = 1,\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1,a^{2008} + b^{2008} + c^{2008} = 2009
\]
จงหาค่าของ \[
\left( {abc} \right)^{2008}
\]

ส่วนขอสองนี้เป็นโจทย์คอมบินาทอริก 4 คะแนนคับ
2. โดยเอกลักษณ์ \[
\left( {1 - x^2 } \right)^n = \left( {1 - x} \right)^n (1 + x)^n
\] จงแสดงว่า สำหรับทุกจำนวนเต็ม \[
k \ge 0
\] และ \[
k \le n
\]
\[
\sum\limits_{i = 0}^{2k} {\left( { - 1} \right)} ^i \left( \begin{array}{l}
n \\
i \\
\end{array} \right)\left( \begin{array}{l}
n \\
2k - i \\
\end{array} \right) = \left( { - 1} \right)^k \left( \begin{array}{l}
n \\
k \\
\end{array} \right)
\]

อ้อยังมีอีกข้อนึง เป็นเรื่องทฤษฎีจำนวนคับ
3. จงหาจำนวนเต็มบวก k ที่มีค่ามากที่สุดที่ทำให้ \[
k|n^9 - n;\forall n \in Z^ +
\]

ขอบคุณนะครับที่ช่วยเฉลยให้ ผมพึ่งเข้ามาใหม่ ก็ขอฝากเนื้อฝากตัวด้วยฮะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Bius

มันเป็นโจทย์ quiz ของ สอวน คณิต ค่าย1 ที่ศูนย์มอ.หาดใหญ่่ะครับ
ข้อแรกนี้ตั้ง 8 คะแนน วานช่วยคิดหน่อยนะครับ

1. ให้ \[
a + b + c = 1,\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1,a^{2008} + b^{2008} + c^{2008} = 2009
\]
จงหาค่าของ \[
\left( {abc} \right)^{2008}
\]

Hint: Use the identity $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Bius

3. จงหาจำนวนเต็มบวก k ที่มีค่ามากที่สุดที่ทำให้ \[
k|n^9 - n;\forall n \in Z^ +
\]

Hint: Show that $k$ divides $(2^9-2,3^9-3)=??$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Bius

2. โดยเอกลักษณ์ \[
\left( {1 - x^2 } \right)^n = \left( {1 - x} \right)^n (1 + x)^n
\] จงแสดงว่า สำหรับทุกจำนวนเต็ม \[
k \ge 0
\] และ \[
k \le n
\]
\[
\sum\limits_{i = 0}^{2k} {\left( { - 1} \right)} ^i \left( \begin{array}{l}
n \\
i \\
\end{array} \right)\left( \begin{array}{l}
n \\
2k - i \\
\end{array} \right) = \left( { - 1} \right)^k \left( \begin{array}{l}
n \\
k \\
\end{array} \right)
\]

Hint: Look at the coefficient of $x^{2k}$ on both sides.

[Jew]

เห็นโจทย์แล้วอยากอยู่สอวนศูนย์หาดใหญ่