![]() |
#1
|
||||
|
||||
![]() $\log 2 = ?$
คำถามนี้ง่ายจังเลยครับ แค่จิ้มเครื่องคิดเลขหรือเปิดตาราง logarithm ก็รู้แล้วว่า $\log 2 = 0.30102999566398119521373889472449$ แล้วค่าในตาราง logarithm มาจากไหนละ ![]() \[\ln x = 2\left(\frac{x-1}{x+1} + \frac{1}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3 + \frac{1}{5}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^5 + \cdots \right)\ ,\ x > 0\] แต่หากเรามองย้อนกลับไปดูช่วงที่ John Napier ผู้คิดเรื่อง logarithm มีชีวิตอยู่คือ ค.ศ. 1550 - 1617 กับช่วงที่ Newton และ Leibniz ผู้คิดเรื่อง Calculus มีชีวิตอยู่คือ ค.ศ. 1643 - 1727 และค.ศ. 1646 - 1716 ตามลำดับ จะพบว่า สมัยที่ John Napier มีชีวิตอยู่นั้น ยังไม่มี Calculus ครับ ดังนั้นการหาค่า logarithm ด้วยการใช้อนุกรมแบบข้างบนจึงตัดทิ้งได้ เพราะไม่เป็นที่รู้จัก สมัยนั้นก็ไม่มีเครื่องคิดเลขด้วย การคำนวณทุกอย่างต้องใช้มือทั้งสิ้น และ John Napier ใช้เวลาถึง 20 ปี สร้างตาราง logarithm ของเขาขึ้นมา ![]() ปัญหาจึงมีอยู่ว่า หากต้องคำนวณค่า logarithm โดยไม่มีตาราง logarithm และไม่ใช้อนุกรมที่ได้จาก Calculus เราจะมีวิธีไหนคำนวณหาค่า logarithm ได้บ้าง ![]() วิธีหนึ่งที่ผมคิดได้ คือขอให้มีความรู้เรื่องการ บวก ลบ คูณ หาร และ ถอดรากที่สอง ก็สามารถหาค่า logarithm ได้แล้วละ จากนั้นก็อาศัยพลังเข้าฟาดฟันกับมัน ![]() สมมติว่าเราจะหาค่า $\log 2$ ขั้นแรก เริ่มจากสร้างตาราง รากที่สองของ 10 ดังนี้ $\begin{array}{rcl} 10 & = & 10 \\ 10^{1/2} & = & 3.1622776601683793319988935444327 \\ 10^{1/2^2} & = & 1.7782794100389228012254211951927 \\ 10^{1/2^3} & = & 1.3335214321633240256759317152953 \\ 10^{1/2^4} & = & 1.1547819846894581796664828872955 \\ 10^{1/2^5} & = & 1.0746078283213174972159415319643 \\ 10^{1/2^6} & = & 1.0366329284376979972916517249253 \\ 10^{1/2^7} & = & 1.0181517217181818414742268885788 \\ 10^{1/2^8} & = & 1.0090350448414474377592544239064 \\ 10^{1/2^9} & = & 1.0045073642544625156647946943413 \\ 10^{1/2^{10}} & = & 1.0022511482929129154656736388666 \\ 10^{1/2^{11}} & = & 1.0011249413998798758854264343657 \\ 10^{1/2^{12}} & = & 1.0005623126022086366185113678096 \\ 10^{1/2^{13}} & = & 1.0002811167877801323992573657697 \\ 10^{1/2^{14}} & = & 1.0001405485169472581627711878589 \\ 10^{1/2^{15}} & = & 1.0000702717894114355388136386765 \\ 10^{1/2^{16}} & = & 1.0000351352774618566085823358616 \\ 10^{1/2^{17}} & = & 1.0000175674844226738338472652737 \\ 10^{1/2^{18}} & = & 1.0000087837036346121465743155693 \\ 10^{1/2^{19}} & = & 1.000004391842173167236282001464 \\ 10^{1/2^{20}} & = & 1.0000021959186755542033171375055 \end{array}$ ตารางข้างบนทำโดยใช้เครื่องคิดเลข สำหรับแม่ค้าขายของทั่วไปได้ง่ายมากครับ กดเลข 10 แล้วก็จิ้ม $\surd$ ไปเรื่อยๆเท่านั้นเอง ![]() ต่อมาจึงพิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $2$ มากที่สุด จะได้ $10^{1/2^2} = 1.7782794100389228012254211951927$ ยังขาดไปอีก $2 \div 1.7782794100389228012254211951927 = 1.1246826503806981607899020795534$ พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.1246826503806981607899020795534$ มากที่สุด จะได้ $10^{1/2^5} = 1.0746078283213174972159415319643$ ยังขาดไปอีก $1.1246826503806981607899020795534 \div 1.0746078283213174972159415319643 = 1.0465982293629893761953411005278$ พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0465982293629893761953411005278$ มากที่สุด จะได้ $10^{1/2^6} = 1.0366329284376979972916517249253$ ยังขาดไปอีก $1.0465982293629893761953411005278 \div 1.0366329284376979972916517249253 = 1.0096131433334941539874965186868$ พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0096131433334941539874965186868$ มากที่สุด จะได้ $10^{1/2^8} = 1.0090350448414474377592544239064$ ยังขาดไปอีก $1.0096131433334941539874965186868 \div 1.0090350448414474377592544239064 = 1.0005729221150466131704544736729$ พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0005729221150466131704544736729$ มากที่สุด จะได้ $10^{1/2^{12}} = 1.0005623126022086366185113678096$ ยังขาดไปอีก $1.0005729221150466131704544736729 \div 1.0005623126022086366185113678096 = 1.0000106035503279989646029820064$ พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.0000106035503279989646029820064$ มากที่สุด จะได้ $10^{1/2^{18}} = 1.0000087837036346121465743155693$ ยังขาดไปอีก $1.0000106035503279989646029820064 \div 1.0000087837036346121465743155693 = 1.000001819830708533209106719663$ พิจารณาว่า $x$ ซึ่งทำให้ $10^x$ มีค่าใกล้เคียงและไม่เกิน $1.000001819830708533209106719663$ มากที่สุด พบว่า ตารางที่ทำไว้ให้ความละเอียดมากกว่านี้ไม่ได้แล้ว จึงยุติเพียงเท่านี้ เราจึงได้ $10^{1/2^2 + 1/2^5 + 1/2^6 + 1/2^8 + 1/2^{12} + 1/2^{18}} = 10^{0.301029205322265625} = 1.9999963603452064891434777135859 \approx 2$ ดังนั้น $\log 2 \approx 0.301029205322265625$ ลองเปรียบเทียบกับค่าที่แม่นยำกว่าคือ $\log 2 = 0.30102999566398119521373889472449$ ก็จะเห็นว่าถูกต้องถึง ทศนิยมตำแหน่งที่ 6 ![]()
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 03 กุมภาพันธ์ 2008 23:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#2
|
||||
|
||||
![]() โฮะๆ อ่านไป2บทความติดเรื่อง resultant<<พึ่งรู้ว่ามีแบบนี้ด้วย แล้วก็บทความนี้ เป็นกำลังใจให้ลงบทความแจกความรู้แปลกๆไปเรื่อยๆอีกนะครับ
![]() ปล.ถ้ารีเควสได้นี่เยี่ยมเลยครับ อิอิ มีหลายเรื่องที่อยากรู้ไปหมดแต่ไม่มีใครสอนพอไปหาอ่านก็อ่านไม่รู้เรื่องเพราะอธิบายไม่ละเอียด
__________________
I am _ _ _ _ locked 03 กุมภาพันธ์ 2008 03:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ t.B. |
#3
|
||||
|
||||
![]() บทความย่อยเหล่านี้มักจะแทรกอยู่ตามบทความใหญ่ที่พี่เขียนอยู่แล้วละครับ หากใครเห็นชื่อบทความใหญ่แล้วปล่อยผ่านไป ก็จะพลาดบทความย่อยเหล่านี้ไปด้วย
![]() เรื่องขอบทความเป็นไปได้ยากครับ ส่วนใหญ่บทความที่พี่เขียนจะเกิดจากความอยาก ไปอ่านเนื้อหาที่น่าสนใจ หรือเกิดความคิดอะไรบางอย่างแล้วลองศึกษาค้นคว้าเพิ่มเติมในเรื่องนั้น จนได้ข้อสรุปตามความอยาก แล้วจึงนำมาเขียน แต่ถ้าขอแบบไม่เจาะจงใครเป็นพิเศษ อาจพอมีหวังบ้าง ![]() อ้อ แล้วอย่ามาตั้งหัวข้อขอบทความในห้องบทความละ เดี๋ยวจะโดนแจกใบแดง เพราะเมื่ออนุญาตให้ตั้งหัวข้อแบบนั้นได้ ก็มักจะมีแต่หัวข้อขอบทความ จนแทบจะหาหัวข้อที่เป็นบทความไม่เจอ ![]()
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#4
|
||||
|
||||
![]() เยี่ยมยุทธจริงๆท่าน ข้าน้อยดูจนตาลายเลย
![]() |
#5
|
||||
|
||||
![]() ดีมากครับคุณ TOP นี่ถ้ารวบรวมแล้วนำเสนอเป็นเล่มออกวางจำหน่ายที่ร้านหนังสือก็ดีนะครับ
เด็กๆที่สนใจคณิตศาสตร์จะได้มีพลังในการศึกษาคณิตศาสตร์อย่างเหล่าจอมยุทธทั้งหลายใน Math Center นี่ไงครับ |
#6
|
||||
|
||||
![]() ขอปริ๊นออกมาอ่านหน่อยนะครับ กำลังศึกษาเรื่องนี้พอดีเลยครับ
__________________
I think you're better than you think you are. |
#7
|
||||
|
||||
![]() ยอดเยี่ยม!! ถ้าเอามาเป็นหนังสือคงขายดีมากเลย จองเป็นคนแรก
__________________
![]() ![]() ![]() ![]() 20 ตุลาคม 2008 17:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คusักคณิm |
#8
|
||||
|
||||
![]() อื้ม ดีค่ะ หนังสือดีๆ แจ่มๆ
บทความอย่างนี้อ่านแล้วก็..มึนๆนะ แต่ก็จะพยายามอ่านให้เข้าใจที่สุด เพราะคิดว่ามันคงมีประโยชน์มากแน่เลย ^^
__________________
ยิ้มเท่านั้นที่ครองโลก
5555 ![]() ![]() ![]() |
#9
|
||||
|
||||
![]() เห็นด้วยครับ อยากรู้ที่มาของ ค่า log ต่างๆ ตั้งนานและครับ
เราได้แต่ใช้กัน แต่ไม่รู้ที่มา ในที่สุดก็พอจะรู้และ ขอบคุณคราบบบ |
#10
|
||||
|
||||
![]() ขอบคุณครับท่านจอมยุทธ์
ขอถามหน่อยครับ วิธีการคำนวณนี้ คือวิธีที่ใช้ในเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์หรือเปล่าครับ?
__________________
<^)))>< ... <ปลากะพง ณ บาดาล> ... ><(((^> |
#11
|
||||
|
||||
![]() ขอบคุณครับ คนไม่ได้เรียน เริ่มจะเข้าใจแล้วครับ อย่างที่ว่านะครับ ถ้าเขียนลงหนังสือ ผมขอจองอีกคนนะครับ อิอิ
__________________
สถานะ อยู่เหนือ ความรู้สึก 28 ธันวาคม 2008 13:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Eacary เหตุผล: ลืมเช็ค |
#12
|
|||
|
|||
![]() ผมอ่านตั้งนานก็รู้ที่มาของlogarithm
ขอบคุณพี่มากครับ |
#13
|
|||
|
|||
![]() นี่เป็นการคิดแบบที่เครื่องคิดเลขทำป่าวครับ
|
![]() ![]() |
|
|