มีคำถามมาถามครับ วานผูรู้ช่วยดูให้หน่อยครับ

[เอกสิทธิ์]

จำนวนวิธีในการกระจาย N ในรูปของผลบวก แทนด้วย P(N)
4 = 1 + 1 + 1 + 1
4 = 1 + 1 + 2
4 = 2 + 2
4 = 4
P(4) = 4

ผมคิดออกมาเป็นสูตรได้คือ

P(N) แทนสัมประสิทธิ์ของ $X^N$ ของ $(1 + X^1 + X^2 + X^3 ...)(1 + X^2 + X^4 + X^6 ...)(1 + X^3 + X^6 + X^9 ...) ...$

จัดรูปแบบใหม่ได้

P(N) แทนสัมประสิทธิ์ของ $X^N$ ของ $\frac{1}{1 - X}\frac{1}{1 - X^2}\frac{1}{1 - X^3} ...$

ถ้าต้องการสรปุเป็นสูตรจะทำอย่างไร

รามานุชันและนักคณิตศาตร์อังกฤษคนนั้นใช้หลักการนี้หรือไม่

ปล. ลืมอธิบายที่มาของสูตร

เป็นเรื่องของการจัดรูปแบบเล็กน้อย
$(1 + X^1 + X^2 + X^3 ...)(1 + X^2 + X^4 + X^6 ...)(1 + X^3 + X^6 + X^9 ...) ...$
$(1 + X^1 + X^2 + X^3 ...)$ คือจำนวนเลข 1 ที่ใช้ในการบวก
$1$ แทนใช้ 1 ศูนย์ตัวในการกระจายในรูปของการบวก (ไม่ใช้ 1)
$X^1$ แทนใช้ 1 หนึ่งตัวในการกระจายในรูปของการบวก
$X^2$ แทนใช้ 1 สองตัวในการกระจายในรูปของการบวก
$X^3$ แทนใช้ 1 สามตัวในการกระจายในรูปของการบวก
...

$(1 + X^2 + X^4 + X^6 ...)$
$1$ แทนใช้ 2 ศูนย์ตัวในการกระจายในรูปของการบวก (ไม่ใช้ 2)
$X^2$ แทนใช้ 2 หนึ่งตัวในการกระจายในรูปของการบวก
$X^4$ แทนใช้ 2 สองตัวในการกระจายในรูปของการบวก
$X^2$ แทนใช้ 2 สามตัวในการกระจายในรูปของการบวก
...

มองภาพออกไหมครับ

แล้วถ้ากำหนดจำนวนของตัวเลขที่ใช้ในการบวก เช่น
4 = 1 + 3
4 = 2 + 2
P(4,2) = 2
P(N,M) แทนจำนวนวิธีในการกระจายในรูปของการบวก โดยใช้จำนวนของตัวเลข M จำนวนมาบวกกัน
จะเขียนสมการรูปแบบข้างต้นได้อย่างไรดีครับ




ปล. มีคำถามเพิ่มเติมครับ จงหาจำนวนวิธีจ่ายเงิน 20 บาท ด้วยเหรีบญบาท สองบาท ห้าบาท สิบบาท

[nongtum]

ขอออกตัวก่อนนะครับว่าผมไม่รู้เหมือนกันว่าจะหาสูตรปิดแบบแทนค่าปุ๊บได้ปั๊บนี่ทำยังไง แต่เท่าที่ดูมีข้อสังเกตดังนี้
1. ผมลองเช็คจากผลคูณของ generator function ที่ยกมา แล้วได้ P(4)=5 นะครับ ตอนกระจายด้านบนคงจะลืม 3+1 น่ะครับ
2. การหา P(N,M) อาจใช้วิธี stack and bar ช่วยหาวิธีการแบ่ง partition ภายใต้ข้อจำกัดบางประการ เพื่อกำจัดปัญหาการเรียงสับเปลี่ยนภายใน เช่น ตัวก่อนหน้าต้องไม่มากกว่าตัวถัดมาครับ แต่ถ้า M เยอะๆก็คงต้องออกแรงแจงกันหน่อยล่ะครับ
3. คำตอบข้อสุดท้าย มีความหมายเช่นเดียวกับการหาจำนวนชุดคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ของสมการไดโอแฟนไทน์ x+2y+5z+10w=20 ครับ