จำนวนจินตภาพ (คณิตศาสตร์ กข 2551)

[ครูนะ]

26. ให้ f(x) = $x^3 + ax^2 + bx + 10$ โดยที่ a, b เป็นจำนวนจริง และ f(1 + 2i) = 0
จงหาส่วนจริงของ f($i^{10}$) (คณิตศาสตร์ กข 41)

จาก 1 + 2i เป็นราก จะได้ 1 - 2i เป็นราก

ให้ k เป็นรากที่สามของ f(x)

ผลบวกราก (1 + 2i) + (1 - 2i) + k = -a

ผลคูณราก (1 + 2i)(1 - 2i)k = -10

แก้สมการจะได้ว่า k = -2 และ a = 0

แทนค่า a = 0 ใน f(x) = $x^3 + ax^2 + bx + 10$ จะได้ f(x) = $x^3 + bx + 10$

จาก f(1 + 2i) = 0 ดังนั้น

$(1 + 2i)^3 + b(1 + 2i) + 10$ = 0

(1 + 4i - 4)(1 + 2i) + b(1 + 2i) + 10 = 0

(-3 + 4i)(1 + 2i) + b(1 + 2i) + 10 = 0

(-3 - 2i - 8) + b(1 + 2i) + 10 = 0

(-11 - 2i) + b(1 + 2i) + 10 = 0

(-1 - 2i) + b(1 + 2i) = 0

b = 1

เพราฉะนั้น f(x) = $x^3 + x + 10$

จะได้ f($i^{10}$) = f(-1) = $(-1)^3$ + (-1) + 10 = 8

รบกวนผู้รู้ช่วยดูให้ด้วยครับว่าที่ทำมาถูกต้องหรือไม่ครับ เพราะคำตอบที่ได้ไม่ตรงกับเฉลย ในเฉลยเป็น -32
ในหนังสือที่นักเรียนถาม เฉลยไม่ละเอียดและผมไม่ได้ไปตรวจดู หนังสือเล่มนั้นผมก็ไม่มี

[Scylla_Shadow]

ผมว่าถูกแล้วนะครับ

ผมลองตรวจสอบรากของ $f(x)=x^3+x+10$ ก็มี $-2,1+2i,1-2i$ ครับ

ก็จะเห็นว่า $f(x)$ ที่คุณ ครูนะ ทำมานั้นสอดคล้องงกับโจทย์ครับ

[[SIL]]

f(x) มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงนะครับไม่ใช้จำนวนเต็ม จะอ้างว่า 1-2i เป็นรากไม่ได้

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

f(x) มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงนะครับไม่ใช้จำนวนเต็ม จะอ้างว่า 1-2i เป็นรากไม่ได้

ได้ครับ

$x=1\pm 2i$ เป็นราก

$\therefore f(x)=(x-k)(x^2-2x+5)$

$x=0\Rightarrow 10=-5k$

$~~~~\Rightarrow k=-2$

$\therefore f(x)=(x+2)(x^2-2x+5)=x^3+x+10$

[[SIL]]

ประทานโทษครับมึนนิดหน่อย ถ้าไม่เป็นสังยุคกัน a,b จะเป็นเชิงซ้อน
ผมใช้แทน $x=1+2i$ แล้วเทียบ $Im$ กะ $Re$ เอาอ่ะครับ

[ครูนะ]

ขอบคุณมากครับ ผมตรวจสอบอีกวิธีหนึ่งมายันกับวิธีนี้ผมว่าตรงกัน
ไม่อยากเอ่ยชื่อสำนักพิมพ์ เฉลยไม่ละเอียดและเฉลยผิด แบบนี้นักเรียนงงครับ