ช่วยพิสูจน์หน่อยค่ะ.

[mathzah]

ให้ (X,\tau ) เป็นปริภูมิเชิงทอโพโลยี A และ B เป็นเซตย่อยของ X
จงพิสูจน์ว่า : closer A = intersection {F:F เป็นเซตปิดใน X และ A is subset of F}

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mathzah

ให้ $(X,\tau )$ เป็นปริภูมิเชิงทอโพโลยี $A$ และ $B$ เป็นเซตย่อยของ $X$
จงพิสูจน์ว่า : $\overline{A} = \bigcap \{F: F$ เป็นเซตปิดใน $X$ และ $A$ is a subset of $F\}$

ขอนิยามของ $\overline{A}$ ก่อนครับ

หนังสือบางเล่มเขาใช้อันนี้เป็นนิยาม

[mathzah]

closer A = Int A union Bdy A

แล้วมีพิสูจน์มั๊ยค่ะ อยากได้มากๆ เลยค่ะ


ช่วยหน่อยนะค่ะ.



ขอบคุณค่ะ.

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mathzah

ให้ $(X,\tau )$ เป็นปริภูมิเชิงทอโพโลยี $A$ และ $B$ เป็นเซตย่อยของ $X$
จงพิสูจน์ว่า : $\overline{A} = \bigcap \{F: F$ เป็นเซตปิดใน $X$ และ $A$ is a subset of $F\}$

ให้ $A\subseteq F$ เมื่อ $F$ เป็นเซตปิด

พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\text{int}(A)\subseteq A\subseteq F$

และ $\text{Bd}(A)\subseteq F$

ดังนั้น $\overline{A}\subseteq F$

เนื่องจากข้อความนี้จริงสำหรับทุกเซตปิด $F$ ซึ่ง $A\subset F$

เราจะได้ว่า

$\overline{A}\subseteq\bigcap \{F: F$ เป็นเซตปิดใน $X$ และ $A\subseteq F\}$

แต่ $A\subset \overline{A}$ และ $\overline{A}$ ก็เป็นเซตปิด

ดังนั้น $\overline{A}$ ก็เป็นหนึ่งในเซต $F$

เราจึงได้ว่า $\bigcap \{F: F$ เป็นเซตปิดใน $X$ และ $A\subseteq F\}\subseteq\overline{A}$

ดังนั้น $\overline{A}=\bigcap \{F: F$ เป็นเซตปิดใน $X$ และ $A\subseteq F\}$