|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
สมการเชิงฟังก์ชั่น
คือคำถามผมอาจจะไม่ฉลาดไปนิดก้ขออภัยด้วยครับ
คืออยากถามว่าเราจะทราบว่าได้อย่างไรว่าฟังกื่ชั่นที่เราหาได้เป็นฟังก์ชั่นทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟัก์ชั่นนั้นๆครับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... |
#2
|
||||
|
||||
1.ผมเข้าใจที่ถามปแล้วครับ
เลยอยากทราบว่าเนื้อหาสมหการเชิงฟังก์ชั่นที่เรียนในสอวนค่ายสองนี่ถึงบทไหนในหนังสือสอวนครับ 2.อยากได้โจทย์สมการเชิงฟังก์ชั่นของ TMo กับสอวนค่ายสองครับ 3.มีโจทย์ตัวอย่างในหนังสือสอวนที่ผมไม่เข้าใจวิธีทของเค้าครับ จงหา f:R ไป R ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $f[{f(x)}^2+f(y)]=xf(x)$ เค้าทมาเรื่อยๆจนได้ $f(x)^2=x^2$* ผมคิดว่าแค่นี้น่าจะเพียงพอแล้วแต่เค้าแสดงต่อเป็น ถ้ามี$f(u)=u,f(v)=v$ ทให้ $-2u^2v=2u^2v$ ขัดแย้ง สรุปได้ว่ามีฟังก์ชั่นคตอบสองฟังก์ชั่นคือ $f(x)=x,-x$ ผมงงว่าทไมต้องแสดงต่อว่า ถ้ามี$f(u)=u,f(v)=v$ ทให้ $-2u^2v=2u^2v$ ขัดแย้ง ครับ เพราะถ้าเป็นผมคงแสดงถึง *
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... |
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ที่ผมเข้าใจนะครับไม่ชัวๆ คือผมคิดว่าเค้าจะแสดงว่าต้องเป็น $f(x)=x$ หรือ $f(x)=-x$ เท่านั้น ไม่ใช่เป็นทั้งสองอย่างในฟังก์ชั่นเดียวกันอ่ะครับ ปล รู้สึกว่าศูนย์ กทม จะเรียนถึง D-Alembert นะครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#4
|
||||
|
||||
จงหาสมการเชิงฟังก์ชั่นทั้งหมดที่สอดคล้องกับ
$f:R\rightarrow R$ $f(2002x-f(0))=2002x^2$
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... 21 กุมภาพันธ์ 2010 08:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Jew |
#5
|
||||
|
||||
ไม่มั่นใจนะครับ รอท่านอื่นมา confirm
แทน $x=\frac{f(0)}{2002}$ จะได้ $f(0)=\frac{f(0)^2}{2002}$ แก้ได้ $f(0)=0,2002$ กรณ๊ที่ $f(0)=0$ จะได้ $f(x)=\frac{x^2}{2002}$ กรณีที่ $f(0)=2002$ จะได้ $f(x)=\frac{(x+2002)^2}{2002}$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#6
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ
รบกวนช่วยดูวิธีทข้อนี้ให้หน่อยคับ ผมไม่ค่อยมั่นใจคับ จงหา$ f:R\rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2$.........** ผมทปแบบนี้อ่ะครับ แทนค่า y=0 จะได้ว่า $f(x^2)=f(f(x))$.........* เปลี่ยนตัวแปร $y=f(x)$ จะได้ $f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2$.........*** แทนค่า x=0 ลงใน *** ได้ $2f(f(0))=2f(f(0))$ $f(0)=0$ ปแทน $y=-x^2$ ลงใน ...............** ไม่ทราบว่าเราสามารถแทนได้ใช่ไหมครับ ได้ $f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4$ ปแทนค่า $y=f(x)$ ลงใน ** $f(x^2+f(x))=2f(f(x))+2f(x)^2$ จะได้ $f(x)=-x^2,x^2$ ปแต่เมื่อลองแทนแล้ว $f(x)=-x^2$ ไม่จริงดังนั้นมีฟังก์ชั่นเดียวทีสอดคล้องคือ $f(x)=x^2$ รบหกวนชี้ปแนะด้วยครับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... 21 กุมภาพันธ์ 2010 15:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Jew |
#7
|
||||
|
||||
ปลุกหน่อยครับคือตรงแดงที่แทนมันไม่เป็นฟังก์ชั่น1-1
เลยไม่แน่ใจครับ หรือเราสามารถเปลี่ยนตัวแปรที่ไม่ใช่ 1-1 ได้ครับ แต่ต้องตรวจคำตอบอีกรอบครับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... |
#8
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ผมทำแบบนี้ $x=y=0; f(0)+f(f(0))=2f(f(0))$ $~~~~~~~~~~f(0)=f(f(0))$ $x=0,y=f(0);f(f(0))+f(0)=2f(f(0))+2[f(0)]^2$ $~~~~~~~~~~f(0)=0$ $y=-x^2;f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4..............(1)$ $y=f(x);f(x^2+f(x))=2f(f(x))+2[f(x)]^2...........(2)$ $(1)=(2);f(x)=x^2$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
||||
|
||||
มาตอบเดี๋ยวน้อยใจ ^^
ไม่ confirm เื้่ท่าไหร่นะครับผมก็เพิ่งเริ่มเพิ่งหัดเดิน คิดว่าได้นะครับเพราะเราทำในส่วนที่เป็นโดเมน ที่ 1-1 คือประมาณว่า $f(x)=f(y)$ จะได้ $x=y$ ปล ตอบไม่ทันท่าน nooonuii แหะ =="
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 24 กุมภาพันธ์ 2010 22:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#10
|
|||
|
|||
มีวิธีที่ง่ายกว่านี้อีกครับ เพิ่งเห็นว่าทำไว้แล้ว
$y=0; f(x^2)+f(f(x))=2f(f(x))$ $~~~~~~~~~~f(x^2)=f(f(x))$ $y=f(x)-x^2;f(f(x))+f(x^2)=2f(f(x))+2[f(x)-x^2]^2$ $~~~~~~~~~~ f(x)=x^2$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#11
|
||||
|
||||
มีไม่เข้าใจหลายอย่างครับ
ขอถามให้มั่นใจไปเลยนะครับ 1.เราสามารถแทนตัวแปรเป็นอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ฟังก์ชั่น 1-1 ใช่ไหมครับ 2.หลายครั้งที่ทแล้วสอดคล้องกับสมการโคชี แต่ถ้าจะสรุปให้ได้ว่าฟังก์ชั่นคตอบอยู่ในรูป f(x)=cx ต้องแสดงว่า f เป็นฟังก์ชั่นทางเดียวหรือฟังก์ชั่นต่อเนื่องใช่ไหมครับ 3.คือผมจะแสดงว่าถ้า f เป็น 1-1 แล้ว f เป็นฟังก์ชั่นทางเดียวเพราะหลายครั้งที่แสดงว่าเป้นฟังก์ชั่น 1-1 แต่ไม่สามารถแสดงว่าเป็นฟังก์ชั่นทางเดียวได้ ช่วยดูให้หน่อยครับเพราะคิดว่าคงต้องใช้บ่อยมากในค่าย เอาตั้งแต่วิธีการเขียนเลยครับ สมมติให้ f เป็นฟังก์ชั่น 1-1 แต่ไม่เป็นฟังก์ชั่นทางเดียวจะได้ว่ามี r,k ซึ่งเป็นจนวนจริงบวกซึ่ง $f(r)=f(k)$ แต่ $r\not= k$ แต่ f เป็นฟังก์ชั่น 1-1 เกิดข้อขัดแย้งดังนั้น f เป็นฟังก์ชั่นทางเดียว 4.อยากทราบวิธีการพิสูจน์ว่าฟังก์ชั่นหนึ่งๆเป็นฟังก์ชั่นทั่วถึงช่วยยกตัวอย่างฟังก์ชั่นทั่วถึงและวิธีการพิสูจน์หน่ยครับ 5.ช่วยแก้ข้อนี้หน่อยครับ 5.1จงหา$f:R\rightarrow R$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับ $xf(y)-yf(x)=(x-y)f(xy)$ 5.2 จงหา $f:R\rightarrow R$ ทั้งหมด ที่สอดคล้องหกับ $f(\frac{x+y}{2} )=\frac{f(x)+f(y) }{2}$ อยากทราบว่าเราสามารถขยายไปสู่กรณี n พจน์ได้รึปล่าวครับเช่น $f(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+.......+x_n}{n} )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3).........+f(x_n) }{n}$ ถามมากไปหกน่อยพอดีอัดอั้นครับ อาทิตย์นี้สอบปลายภาคเพิ่งเสร็จเมือวานครับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... 27 กุมภาพันธ์ 2010 17:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Jew |
#12
|
||||
|
||||
ตามความเข้าใจของผมนะครับ
1) เรามีอิสระที่จะเเทนค่าตัวเเปรอะไรยังไงก็ได้ครับ เมื่อการเปลี่ยนตัวเเปรกลับไปกลับมาเเล้วยังคงให้หน้าตาตัวเเปรเหมือนเดิม เช่น ใน FE เจอ $y$ เปลี่ยนตัวเเปรเป็น $y=1-x$ พอเราเปลี่ยนตัวเเปรกลับมาเป็น $x=1-y$ ก็ยังหน้าตาเหมือนเดิมจริงไหมครับ เเต่ในกรณีเช่น $f$ เป็นฟังก์ชั่นจากจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง เเทน $y=\sqrt{x}$ เราได้ว่าทั้ง $x,y$ ต่างเป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบจริงไหมครับ เเต่พอลองเปลี่ยนกลับไปจับมันยกกำลังสองดู ได้ $x=y^2$ ทีนี้เราจะได้ว่า $x \geq 0$ เเต่กลับได้ $y$ เป็นจำนวนจริงซึ่งเป็นลบได้ เเต่ตอนเเรกที่เราเปลี่ยนนั้น ($y=\sqrt{x}$) $y$ ไม่มีสิทธิติดลบเลยจริงไหมครับ เพราะฉะนั้นการเปลี่ยนตัวเเปรเเบบ $y=x^2$ หรือ $y=\sqrt{x}$ จึงทำไม่ได้ ตามความเข้าใจของผมนะครับ การเปลี่ยนตัวเเปรจะทำได้นั้นก็ต่อเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชั่น Bijective ซึ่งมีสมบัติว่าอินเวอร์สของ $f$ ก็เป็นฟังก์ชั่น Bijective ด้วยครับ ดังนั้นก็ 1-1 2) ผมว่าขึ้นอยู่กับว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่นจากเซตอะไรไปอะไรด้วยครับเช่นถ้าเป็นฟังก์ชั่นจากจำนวนตรรกยะไปตรรกยะก็ไม่ต้องเเสดงก็ได้ครับ ทำไปตามปกติ จะต้องเเสดงก็ต่อเมื่อโจทย์กำหนดให้โดเมนเป็นจำนวนจริงการจะสรุปว่า $f(x)=xf(1)$ นั้น ตามความเข้าใจของผมต้องมีอย่างน้อย 1 จาก 4 เงื่อนไข คือ ความเป็นฟังก์ชั่นทางเดียว, มีขอบเขต, ต่อเนื่องอย่างน้อยหนึ่งจุด, เป็นบวกเหนือเส้นจำนวนจริง $x \geq 0$ อย่างเล่มเทาสอวน.หน้า 194 มีสมบัติ $f(x^2)={f(x)}^2$ ได้ว่า $f(x)=cx$ เมื่อ $c=1$ (อ้างจาก IMO compendium) ซึ่งต้องเเสดงให้ดูว่า $f$ มีสมบัติดังกล่าวจึงจะสรุปได้ 3) ถ้า $f$ เป็น Injective ยังไงก็ต้องมีสมบัติ Monotone increasing หรือ decreasing อย่างใดอย่างหนึ่งอยู่เเล้วไม่ใช่เหรอครับ ถ้าจะเเสดงว่าถ้า $f$ injective เเล้ว monotone นี้ น่าจะใช้ได้เเค่กับ Strictly monotone เพราะอีกสองประเภทที่เหลือที่ Monotone เเต่ไม่ Strictly จะไม่เป็นฟังก์ชั่น Injective 4) ถ้่า $f$ เป็นฟังก์ชั่้นจาก $A$ ไป $B$ เเล้ว ทุกค่าของ $y$ ใน $B$ จะต้องมี $x$ ที่ทำให้ $y=f(x)$ เสมอ เช่น $y=f(x)$ เเล้วจากโจทย์ได้ว่า $f(y)=f(f(x))=x$ มีผลให้ $x=f(y)$ ด้วย จากความจริงที่ว่าถ้า $f$ เป็นฟังก์ชั่น Bijective จาก $A$ ไป $B$ เเล้ว $f$ จะมีฟังก์ชั่นผกผันเพียงฟังก์ชั่นเดียวเท่านั้นจาก $B$ ไป $A$ ซึ่งเป็นฟังก์ชั่น Bijective ด้วย เเต่้กรณีนี้เราพิสูจน์ได้เเล้วว่า $y=f(x)$ เเละ $x=f(y)$ ดังนั้น $f$ มีฟังก์ชั่นผกผันดังนั้น $f$ จึงเป็นฟังก์ชั่น Bijective ซึ่งให้ว่า $f$ Onto ตามต้องการ 5.1) เขียนใหม่ได้เป็น $xf(y)-xf(xy)=yf(x)-yf(xy)$ เเทน $x=1;$ $f(y)-f(y)=0=yf(1)-yf(y)$ ดังนั้น $yf(y)=yf(1)$ เมื่อ $y\not=1$ จะได้ว่า $f(x)=f(1)$ เป็นคำตอบ 5.2) จาก Hint ของคุณ Nooonuii ให้ $g(x)=f(x)-f(0)$ จะได้ว่า $g(\frac{x+y}{2})=f(\frac{x+y}{2})-f(0)=\frac{f(x)+f(y)}{2}-f(0)$ จากโจทย์ให้ $x=0$ จะได้ $f(\frac{x}{2})=\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(0)$ ในทำนองเดียวกัน $f(\frac{y}{2})=\frac{1}{2}f(y)+\frac{1}{2}f(0)$ จับสมการทั้งสองมาบวกกัน จะได้ว่า $f(\frac{x}{2})+f(\frac{y}{2})=\frac{1}{2}[f(x)+f(y)]+f(0)$ พิจารณา $g(\frac{x}{2})+g(\frac{y}{2})=f(\frac{x}{2})+f(\frac{y}{2})-2f(0)=\frac{1}{2}[f(x)+f(y)]-f(0)=g(\frac{x+y}{2})$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการโคชี เเต่พอถึงตรงนี้จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่นที่มีสมบัติตามสมการโคชี รบกวนเทพทีครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" 28 กุมภาพันธ์ 2010 11:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Keehlzver |
#13
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ตัวอย่างเช่น $f(x)=\dfrac{1}{x},x\neq 0$ และ $f(0)=0$ ฟังก์ชันนี้เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง แต่ไม่เป็นทั้งฟังก์ชันเพิ่ม ลด และ ต่อเนื่อง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#14
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
สมการนี้ก็คือรูปแบบทั่วไปของสมการเส้นตรงที่เรารู้จัก ในขณะที่สมการโคชีเป็นรูปแบบทั่วไปของสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#15
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|