ข้อสอบโอลิมปิก มข ช่วยตอบให้หน่อยนะคะ

[purizz]

ตามหัวข้อแหละค่ะ จะเตรียมตัวสอบ ลองทำแล้วมันไม่สุดสักข้อเลย เหอะๆ

ขอบคุณมากค่ะ


----------------------------------------------------------------
1. กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ a<b , 5 หาร a ลงตัว และ 7 หาร b ลงตัว ถ้า ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากับ 3 และ ค.ร.น. ของ a และ b เท่ากับ 315 จงหาเศษที่เหลือจาการหาร b ด้วย a

2. กำหนดให้ p เป็นจำนวนเฉพาะที่ p หาร (4p^2 + 756)^3 ลงตัว จงหาค่า p ที่เป็นไปได้

3. นิยามค่า \Pi (พาย) สำหรับวงกลมดังนี้ \Pi = ความยาวรอบวง/ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง
จงแสดงว่า \Pi > 3

[LightLucifer]

ข้อ 1 ผมได้ เศษ 1 อะครับ ผมลองหา a b ที่เป็นไปได้ดูอ่ะครับ

[purizz]

เราก็คิดแบบนั้นไง ช่วงท้ายลองสุ่มดูอ่ะ

เลยอยากรู้วีธีจริงๆๆ ของมัน

ยังไงก็ขอบคุณค่ะ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อ 1 ผมได้ เศษ 1 อะครับ ผมลองหา a b ที่เป็นไปได้ดูอ่ะครับ

ที่ถูก เศษที่ได้คือ 3 ครับ

[gon]

ข้อ 2) $p|(4p^2 + 756)^3 \Rightarrow p | (4p^2 + 756) \iff p |756$

จากนั้นหาตัวประกอบเฉพาะของ 756 ที่เป็นไปได้ออกมาทั้งหมด

ข้อ 3) พิจารณาวงกลมที่มีรัศมี 1 หน่วย สมมติว่าจุดศูนย์กลางอยู่ที่คู่อันดับ (0, 0) จะได้ว่าเส้นรอบวง = $2\pi(1) = 2\pi$

ตามรูปส่วนโค้ง AB ยาว = $2\pi/8 = \pi/4$

ความยาวส่วนของเส้นตรง AB หาได้จากกฎของโคไซน์
$AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)cos (\pi/4) = 2 - \sqrt{2}$

ดังนั้น AB = $\sqrt{2-\sqrt{2}}$

ชัดเจนว่าส่วนโค้ง AB > ส่วนของเส้นตรง AB

ดังนั้น $\pi/4 > \sqrt{2-\sqrt{2}} \iff \pi > 4\sqrt{2-\sqrt{2}} >3$

การพิสูจน์ว่า $4\sqrt{2-\sqrt{2}} > 3$

$4\sqrt{2-\sqrt{2}} > 3 \iff \sqrt{2-\sqrt{2}} > 3/4 \iff 2 - \sqrt{2} > 9/16$

$\iff \sqrt{2} < 23/16 \iff 16\sqrt{2} < 23 \iff 16^2(2) < 23^2 \iff 512 < 529 $ ซึ่งเป็นจริง (ตอนเรียบเรียงให้เขียนย้อนกลับไป)

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ที่ถูก เศษที่ได้คือ 3 ครับ

ใช่เลย ลืมไป ผมไปตัด 3 ซะงั้น เมาหลายรอบแล้วเนี่ยผม

[purizz]

เทพๆๆๆๆ

คิดได้ไงเนี่ย ขอบคุณมากค่ะ

แสดงวิธีทำข้อหนึ่ง ให้ดูหน่อยได้มั้ยค๊ะ

[LightLucifer]

โจทย์บอกว่า หรม คือ $3$ ดังนั้นทั้ง $a$ และ $b$ จะมี $3$ เป็นตัวประกอบ
โจทย์บอกว่า $a$ มี $5$ เป็นตัวประกอบ ส่วน $b$ มี $7$ เป็นตัวประกอบ
แสดงว่าอย่างน้อยๆ $a$ จะต้องมี $(3)(5)$ เป็นตัวประกอบ ในทำนองเดียวกัน $b$ จะต้องมี $(3)(7)$ เป็นตัวประกอบ แต่ ครน คือ $315=(3)(3)(5)(7)$ ดังนั้น จะต้องมี $3$ อีกตัวป็นตัวประกอบของ $a$ หรือ $b$ แต่โจทย์กำหนดให้ $b>a$ ดังนั้น $b=(3)(3)(7)$ และ $a=(3)(5)$

[[SIL]]

ทำไมอุบลสอบก่อนเพื่อนเนี่ย

[Onasdi]

อยากถามว่าข้อ 3 เราอ้างได้รึเปล่าครับว่า $\cos \frac{\pi}{4}$ เป็นเท่าไหร่

[gon]

ผมคิดว่าอ้างได้ครับ เพราะว่าตอนที่หาค่า $\cos \pi/4$ ตามนิยามแบบ ม.ปลาย ซึ่งได้จากจุดตัดของสมการเส้นตรง y = x กับ สมการวงกลม $x^2 + y^2 = 1$ นั้น เราไม่มีความจำเป็นต้องรู้เลยครับว่า $\pi$ มีค่าเท่าไรกันแน่ เว้นเสียแต่ว่าข้อสอบกำหนดเป็นอย่างอื่นว่าจะกำหนดระดับกรอบความรู้ไว้ตรงไหน

ที่จริงผมเคยเห็นปัญหาข้อนี้แล้วที่ไหนสักแห่งนานมากแล้วครับ แต่หลัง ๆ ไม่ได้แตะอสมการเลยนึกไม่ออกว่าเคยเห็นที่ไหน

[soulo]

ผมคิดว่าเรายังไม่ควรอ้างสูตร เส้นรอบวง = 2Pi r หรือ ค่า cos Pi/4 ครับ วิธีของผมอธิบายง่ายๆ คือ ใช้วงกลมหนึ่งหน่วย แล้วสร้าง 6 เหลี่ยมด้านเท่าในวงกลม ดังนั้นเส้นรอบวงของ หก เหลี่ยม = 6 หน่วย และถ้าหารด้วย เส้นผ่าศูนย์กลาง 2 หน่วย จะได้=3 ดังนั้น เส้นรอบวงของวงกลมหารด้วย เส้นผ่าศูนย์กลาง 2 หน่วย ย่อมได้ค่า>3 (ซึ่งเส้นรอบวงของวงกลม > เส้นรอบวงของหกเหลี่ยมแน่ )

[James007]

#12
ผมว่าใช้ความยาวเส้นรอบวง เท่ากับ $2 \pi r$ ได้ครับ เพราะว่า โจทย์บอกแล้วว่า $\pi$ คือ ความยาวเส้นรอบวง หารด้วย ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง