รบกวนช่วยแนะนำข้อนี้หน่อยครับ

[ผู้หลงใหลในการคำนวณ]

ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงที่มากกว่า $\frac{1}{2}$ ทั้งสามจำนวน ซึ่งสอดคล้อง
$xy+yz+zx=\frac{3}{4}+6\cdot \sqrt{\left(x-\frac{1}{2} \right)\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(z-\frac{1}{2}\right) } $
จงหาค่าของ $\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

ผมเริ่มไม่ถูกครับว่าจะเริ่มจากไหนครับ ขอแค่เริ่มให้นิดหน่อยก็พอครับ ที่เหลือผมของลองคิดเองครับ

[nooonuii]

Let $a=x-1/2,b=y-1/2,c=z-1/2$.

Use AM-GM inequality to show that $a=b=c=1$.

[Slurpee]

ช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อยครับยังงงอยู่เลยครับ

[James007]

ตามวิธีของคุณ nooonuii นะครับ

แทนค่า $a=x-1/2,b=y-1/2,c=z-1/2$ ลงในสมการ
กระจายแล้วจัดรูป จะได้ $ab+bc+ca+a+b+c=6\sqrt{abc}$
เนื่องจาก $x,y,z>\frac{1}{2}$ จะได้ว่า $a,b,c>0$

โดยอสมการ AM-GM
$\dfrac{ab+bc+ca+a+b+c}{6}\geqslant(a^3b^3c^3)^{1/6}$
นั่นคือ $ab+bc+ca+a+b+c \geqslant 6\sqrt{abc}$
จึงได้ $ab=bc=ca=a=b=c$ (เป็นเงื่อนไขที่ทำให้อสมการกลายเป็นสมการ)
แก้สมการได้ $a=b=c=0$ หรือ $1$ แต่ $a,b,c>0$
ฉะนั้น $a=b=c=1$ ทำให้ได้ว่า $x=y=z=\frac{3}{2}$

ดังนั้น $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

[ผู้หลงใหลในการคำนวณ]

ขอบคุณมากครับ เข้าใจแจ่มแจ้งเลยครับ