ช่วยเฉลยให้ทีนะครับ (ข้อสอบคัดเลือก สอวน. ค่าย 1 ปีล่าสุด)

[warut]

ตอนที่ 2. ข้อ 2. กำหนดให้ $A$ และ $X$ เป็นเซต ซึ่ง $ (X \cap A') \cup (X' \cap A) =A $ จงให้ข้อมูลเกี่ยวกับเซต $X$ เท่าที่จะให้ได้

ก่อนอื่นผมอยากแนะนำให้รู้จักกับ สิ่งที่เรียกว่า symmetric difference ของเซต $A$ และ $B$ ใดๆ ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $A \bigtriangleup B$ และมีนิยามว่า $$ A \bigtriangleup B = (A - B) \cup (B - A) $$ ซึ่งก็คืออาณาบริเวณสีเขียวในรูปนั่นเอง



จากโจทย์ เราจึงได้ว่า $ (X \cap A') \cup (X' \cap A) = A \bigtriangleup X = A $ ซึ่งจะเห็นว่าทางเดียวที่เป็นไปได้คือ $ X= \emptyset $ ครับ

ถ้าจะพิสูจน์อย่าง rigorous ก็ทำได้โดยสมมติให้มี $x \in X$

กรณีที่ 1: $x \in A$
จะเห็นว่า $x \notin X \cap A' $ และ $x \notin X' \cap A $
ดังนั้น $ x \notin (X \cap A') \cup (X' \cap A) $
แสดงว่า $ (X \cap A') \cup (X' \cap A) \ne A$

กรณีที่ 2: $x \notin A$
จะเห็นว่า $x \in X \cap A' $
ดังนั้น $ x \in (X \cap A') \cup (X' \cap A) $
แสดงว่า $ (X \cap A') \cup (X' \cap A) \ne A$ เช่นกัน

ดังนั้น $X$ จึงต้องเป็นเซตว่างครับ

[warut]

มีใครทราบวิธีทำของ ข้อ 1. ตอนที่ 2 ง่ายๆไหมครับ ผมทำได้ $A\ge 5$ แต่ยุ่งยากจัง

[Siren-Of-Step]

รบกวนช่วยทำ เฉลยขอวิธีทำ ให้หมดด้วยเถอะครับ

ขอบคุณจากใจจริง ๆ นะครับ ขอร้องฮะ

[DARK SWORD]

ยากดีเนอะพี่ๆ