ช่วยหน่อยครับ

[Siren-Of-Step]

$x,y,z$ be positive real numbers such that $xyz = 1$
Prove

$\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)} + \dfrac{y^3}{(1+z)(1+x)}+ \dfrac{z^3}{(1+x)(1+y)} \geqslant \dfrac{3}{4}$

[Siren-Of-Step]

็Hint ก็ได้ครับ ถ้าไม่อยากเสียเวลาพิมพ์ เฉลย

[Aquarious]

AM-GM$\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+ \frac{1+y}{8} +\frac{1+z}{8}\geqslant \frac{3x}{4}$

$\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+ \frac{1+z}{8} +\frac{1+x}{8}\geqslant \frac{3y}{4}$

$\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}+ \frac{1+x}{8} +\frac{1+y}{8}\geqslant \frac{3z}{4}$

รวมทุกสมการจะได้$\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)} \geqslant \frac{x+y+z}{2}-\frac{3}{4} \geqslant \frac{3}{4} (จากAM-GM และ xyz=1)$

[Siren-Of-Step]

Prove that

$\sqrt{a} +\sqrt{b} + \sqrt{c} \geqslant ab+bc+ca$

$a+b+c = 3$

[Aquarious]

ต้องมี $ a+b+c=3$ ด้วยรึเปล่าครับ ไม่งั้นมันไม่จริงอ่ะ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquarious

ต้องมี $ a+b+c=3$ ด้วยรึเปล่าครับ ไม่งั้นมันไม่จริงอ่ะ

ใช่แล้วครับ ลืมพิมพ์

[Aquarious]

จากAM-Gm $a^2+\sqrt{a}+ \sqrt{a}\geqslant 3a$

$b^2+\sqrt{b}+ \sqrt{b}\geqslant 3b$

$c^2+\sqrt{c}+ \sqrt{c}\geqslant 3c$

รวมทุกสมการจะได้ $(a^2+b^2+c^2)+2(\sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c} )\geqslant 3(a+b+c)$

แต่จากโจทย์ $a+b+c=3 แทน 3=a+b+c ใน LHS แล้วกระจาย$

จะได้ $ \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c}\geqslant ab+bc+ca$