ช่วยหน่อยครับ

[extreme111]

จากเทกเลยนะครับ
we call a positive integer "perfect" if it equals the sum of its positive divisors other than itself.
Show that (2^(p-1)) * ((2^p)-1) is a perfect number when (2^p)-1 is priime

ขอบคุณล่วงหน้าด้วยครับ

[Ne[S]zA]

คุ้นๆ เหมือนเคยเห็นที่ไหน?? ผมเข้าใจถูกมั้ยครับที่เรียก $6$ ว่า perfect เพราะ $1+2+3=6$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ extreme111

จากเทกเลยนะครับ
we call a positive integer "perfect" if it equals the sum of its positive divisors other than itself.
Show that $2^{p-1}(2^p-1)$ is a perfect number when $2^p-1$ is priime

ขอบคุณล่วงหน้าด้วยครับ

ในเมื่อ $2^p-1$ เป็นจำนวนเฉพาะเสียแล้ว ทุกอย่างก็ไม่น่าจะยากแล้วล่ะ ตัวประกอบทั้งหมดของ $2^{p-1}(2^p-1)$ เป็นอะไรได้บ้าง ลองเขียนออกมาให้หมดสิครับ

[krit]

บทพิสูจน์ครับ(ทำเอง)(ภาษาไทยนะครับ ภาษาอังกฤษทำไม่ได้)
ถ้า $2^p-1$ เป็นจำนวนเฉพาะ
ตัวประกอบทั้งหมดของ$2^{p-1}(2^p-1)$ที่ไม่รวมตัวเอง คือ $1,2,2^2,2^3......,2^{p-1},2^p-1,2^{p+1}-2,2^{p+2}-2^2......,2^{2p-2}-2^{p-2}$
ผลรวมของตัวประกอบคือ
$\begin{array}{cl}&(1+2+2^2+2^3+......+2^{p-1}+2^p+2^{p+1}......+2^{2p-2})-(1+2+2^2+2^3......+2^{p-2})\\
=&(2^{2p-1}-1)-(2^{p-1}-1)\\
=&2^{2p-1}-2^{p-1}\\
=&2^{p-1}(2^p-1)\end{array}$
ซึ่งเท่ากับจำนวนนั้นคือ $2^{p-1}(2^p-1)$
ดังนั้น $2^{p-1}(2^p-1)$ เป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ $2^p-1$ เป็นจำนวนเฉพาะ
ขอบคุณคุณ noonuii ที่ช่วยบอกวิธีด้วยครับ