ขอถามเรื่องเกี่ยวกับComposition of function

[จันทรา]

1. ถ้า gof ต่อเนื่องและf เป็นทั้งต่อเนื่องและทั่วถึงแล้วgต่อเนื่อง อยากถามว่าพิสูจน์ยังไง (ช่วยพิสูจน์ให้ดูด้วย)
2. ให้ f,g :\Re \rightarrow \Re และให้fเป็นฟังก์ชั่นทั่วถึง
- ถ้า gofต่อเนื่องและ fเป็นดาร์บูแล้วg ต่อเนื่อง
- ถ้า gofเป็นดาร์บูและ fต่อเนื่องแล้วg ดาร์บู
อยากถามว่าพิสูจน์ยังไง (ช่วยพิสูจน์ให้ดูด้วย)

[ครูนะ]

ไม่มีคนมาตอบเลย ผมรอนานแล้วเหมือนกัน อยากรู้เหมือนกันครับ

ดาร์บู คืออะไรครับ หมายถึง U(f,P) หรือเปล่าครับ รบกวนช่วยบอกสัญลักษณ์ดาร์บูด้วยครับ

ส่วนข้อ 1. ผมจะลองคิดดูครับ ช่วงนี้ยังไม่มีเวลา แต่รู้สึกว่าต้องเลือก เอปซิลอนกับเดลต้า ทำหลายบรรทัด

ถ้าใช้โทโพโลยี จะพิสูจน์ข้อ 1 เพียงสามบรรทัด ใช้ทฤษฎีที่เกี่ยวกับโฮมีโอมอฟเข้าช่วย แต่ผมยังไม่เก่งขนาดนั้น

[ครูนะ]

ข้อ 1.

ให้ $f:A \rightarrow B$ , $g:B \rightarrow C$ จะได้ $gof:A \rightarrow C$

จาก gof ต่อเนื่อง

ให้ $\varepsilon > 0$ จะมี $\delta_1 > 0$ ที่ถ้า $|x_1 - x_2| < \delta_1$ แล้ว $|g(f(x_1)) - g(f(x_2))| < \varepsilon$

ที่ทุก $x_1 , x_2 \in A$ ----- (1)

เนื่องจาก f ทั่วถึง ดังนั้น $f(x) \not= \varnothing$ ที่ทุก $f(x) \in B$ และจาก f ต่อเนื่องจะได้ว่า

ให้ $\gamma > 0$ จะมี $\delta_2 > 0$ ที่ถ้า $|x_1 - x_2| < \delta_2$ แล้ว $|f(x_1) - f(x_2)| < \gamma$

ที่ทุก $f(x_1) , f(x_2) \in B$ ----- (2)

จาก (1) และ (2) เลือก $\delta_3 > 0$ ที่ถ้า $|f(x_1) - f(x_2)| < \delta_3$ จะได้ $|g(f(x_1)) - g(f(x_2))| < \varepsilon$

ที่ทุก $f(x_1) , f(x_2) \in B$

เพราะฉะนั้น g ต่อเนื่อง

[passer-by]

paper ข้างล่างนี้ จะตอบทั้ง ข้อ 1 และ 2.1, 2,2 ได้ครบถ้วนครับ

Darboux and continuity