คอมบินาทอริคครับ

[nutza]

คนกลุ่ม หนึ่งมี 8คน คนนี้มี 2คนเป็นพี่น้องกัน ต้องการเลือกกรรมการ 4 คน จาก คนกลุ่มนี้ได้กี่วิธี
1. ไม่มีเงื่อนไข
2.เลือกได้พี่น้อง 2คน
3. ไม่ได้พี่น้องเลย
4. ได้พี่น้องคนเดียว
5. เลือกได้พี่น้องอย่างน้อย 1คน

เอาข้อเดียวก่อนนะครับเด๊ยวจะมาเรื่อยๆ ครับ
ขอความกรุณาด้วยครับ

[TOON']

คนกลุ่ม หนึ่งมี 8คน คนนี้มี 2คนเป็นพี่น้องกัน ต้องการเลือกกรรมการ 4 คน จาก คนกลุ่มนี้ได้กี่วิธี
1. ไม่มีเงื่อนไข
= $\binom{8}{4}$ = 70 วิธี (ไม่แน่ใจนะคะ)

[กิตติ]

2. $\frac{6!}{2!4!} $ วิธี
3.$\frac{6!}{2!4!} $
4.$2\times \frac{6!}{3!3!} $
5.$\frac{8!}{4!4!}- \frac{6!}{2!4!} $

[nutza]

ขอบคุณ คุณกิตติมากนะครับ ข้อต่อไปนะครับ


1.มีปากกาเหมือนกัน 4แท่ง ดินสอเหมือนกัน 5แท่ง เด็กคนหนึ่งต้องการนำปากาและดินสอเหล่านี้ไปโรงเรียน จะมีวิธีเลือก ปากกาและดินสอได้กี่วิธี เมื่อ
1.1มีแกกาอย่างน้อย 1ด้าม
1.2มีดินสออย่างน้อย 1แท่ง
1.3 มีปากกาอย่างน้อย1ด้าม และดินสออย่างน้ย 1แท่ง
1.4 ได้ปากกาหรือดินสอเพียงอย่างเดียว
2
จะมีวิธีเลือกตัวอักษร4 ตัวจากคำว่า resistlessness ได้กี่วิธีครับ

[กิตติ]

อย่าเชื่อผมมาก ลองคิดดูตามด้วย เพราะผมจำได้คร่าวๆ
1.1ปกติโจทย์น่าจะบอกด้วยว่าต้องการจะเอาปากกาไปกี่ด้ามและดินสอกี่ด้าม
ถ้าไม่บอกแสดงว่า...การเขียนว่า"ปากกาอย่างน้อย 1 ด้าม" ตีความได้ว่ามีปากกาตั้งแต่1ด้าม..1-2-3-4 ด้าม แล้วก็ไม่ได้สนใจว่าหยิบดินสอไปเท่าไหร่ก็ตีความไปได้อีกว่า มีตั้งแต่ดินสอ0-1-2-3-4-5 ด้ามหรือเปล่า หรือไม่ต้องคิดว่าเอาดินสอไปเท่าไหร่...แล้วแต่จะตีความ.ถ้าตีความว่าสนใจแต่เฉพาะปากกา ก็คิดวิธีจากการหยิบปากกา คงจำสูตรนี้ได้
$2^n=\binom{n}{0} +\binom{n}{1} +..+\binom{n}{n} $....คือการเลือกหยิบของตั้งแต่0,1,2,...,n ชิ้นจากของnชิ้น
จำนวนวิธีของการหยิบปากกาอย่างน้อย 1 ด้ามจากปากกา 4ด้าม$=2^4-\binom{4}{0}=16-1=15$วิธี
เดี๋ยวมาเฉลยต่อ...ขอเวลาไปสอนการบ้านลูกก่อนครับสักครู่

ถ้าตีความแบบที่สองคือเลือกปากกาแล้วก็หยิบดินสอต่ออีก เป็นงานที่ทำสองขั้นซึ่งทำต่อเนื่องกันก็ต้องเอาจำนวนวิธีมาคูณกัน
การหยิบดินสอจึงเกิดได้เท่ากับ$2^5=32$....ดังนั้นถ้าคิดแบบนี้จำนวนวิธีเท่ากับ$32\times 15=480$วิธี

[กิตติ]

นับจากนี้ผมจะคิดแค่เงื่อนไขที่โจทย์ถามอย่างเดียวแล้วกันครับ เพราะในคำตอบตอนแรกก็คิดตามการตีความไปทั้งสองแบบแล้ว
1.2.มีดินสออย่างน้อย 1แท่ง
จำนวนวิธีเท่ากับ $2^5-1=31$วิธี
1.3.มีปากกาอย่างน้อย1ด้าม และดินสออย่างน้อย 1แท่ง....เป็นงานสองขั้นตอนก็เอาจำนวนวิธีในแต่ละขั้นมาคูณกัน
จำนวนวิธีเท่ากับ$(2^4-1)(2^5-1) =31\times 15 =310+155=465$วิธี
1.4.ได้ปากกาหรือดินสอเพียงอย่างเดียว
ข้อ4....ตีความว่าหยิบเพียงดินสออย่างเดียว หรือหยิบปากกาอย่างเดียว เป็นงานที่เกิดแยกกันก็เอาจำนวนวิธีมาบวกกัน
ได้ปากกาเพียงอย่างเดียว...ได้อย่างน้อย 1ด้าม จำนวนวิธีเท่ากับ$2^4-1=15$
ได้ดินสอเพียงอย่างเดียว...ได้อย่างน้อย 1ด้าม จำนวนวิธีเท่ากับ$2^5-1=31$
ได้ปากกาหรือดินสอเพียงอย่างเดียว เท่ากับ$31+15=46$ วิธี

2.คำว่า$resistlessness$ มีr 1ตัว,e 3ตัว,s 6ตัว,i 1ตัว,t 1ตัว,l 1ตัวและ n1ตัว....เลือกตัวอักษร4 ตัว
ผมมองง่ายๆออกเป็น มีอักษรซ้ำกัน2ตัว,3ตัวและ4 ตัว กับไม่ซ้ำกันเลย แล้วเอาจำนวนวิธีในแต่ละกรณีมาบวกกัน
1.ซ้ำกัน 4 ตัว....เลือกได้แค่ 1 วิธี เพราะมีเพียงตัวs ที่มีตัวซ้ำตั้งแต่4ตัวขึ้นไป
2.ซ้ำกัน 3ตัว....มีสองกรณีคือ
2.1.เป็นตัวs....กับเลือกอักษรตัวที่เหลือ1ตัวได้อีก 6วิธี....ผมไม่คิดว่าต้องจับs 6ตัวมา3ตัวได้จำนวนวิธีเท่ากับ$\frac{6!}{3!3!} $ เพราะไม่ว่าจะเอา3ตัวไหนๆก็เิกิดแบบงานเหมือนกันคือ sss ผมเลยคิดว่าเป็นได้แบบเดียว
2.2.เป็นตัว e ...กับเลือกอักษรตัวที่เหลือ1ตัวได้อีก 6วิธี
รวมซ้ำกัน3ตัวเกิดได้ 6+6 =12 วิธี....ผมไม่เอาไปคูณกับ$4!$ เพราะโจทย์ไม่ได้บอกว่าจะเอามาเรียงกัน บอกแค่เอาเลือกอักษร4ตัวเท่านั้น
3.ซ้ำกัน 2 ตัว มีได้อีก2แบบ
3.1.ซ้ำกัน 2ตัว 2คู่.....มีได้ 1วิธีคือ eess
3.2.ซ้ำกันคู่เดียวที่เหลือต่าง....ซ้ำกันคู่เดียวมีได้ 2 วิธีกับเลือกจากที่เหลือมาอีก 2 ตัว ที่เหลือมีทั้งหมด 6ตัว เลือกของ2ชิ้นจาก6ชิ้นได้เท่ากับ$\frac{6!}{2!4!}=15 $...เกิดได้เท่ากับ$15\times 2 =30$วิธี
รวมแบบที่ซ้ำกัน2ตัวเกิดได้$30+1=31$วิธี
4.ไม่ซ้ำกันเลย...คือเลือกของ4ชิ้นจาก6ชิ้น เท่ากับ$\frac{6!}{2!4!}=15 $วิธี
รวมแล้วเลือกอักษร4ตัวได้เท่ากับ$1+12+31+15 = 59$ แบบ

ผมอาจคิดผิดก็ได้ครับ ถ้าคิดผิดก็เตือนกันได้ครับ ผมก็เริ่มลืมๆเรื่องคอมบิไปนานแล้ว ตอนนี้ขอฟื้นความรู้ขั้นม.ต้นก่อน
ผิดพลาดไปก็ขออภัยด้วยครับ