โจทย์พหุนาม

[JKung]

$กำหนด a,b,x,y เป็นจน.จริง ซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ$

$a+b = 2$

$ax^{251}+by^{251} = 5$

$ax^{502}+by^{502} = 14$

$ax^{753}+by^{753} = 41$

$จงหาค่าของ$ $ax^{2008}+by^{2008}$

[tongkub]

hint ลองสังเกตดูเวลา เวลา x และ y ยกกำลังเพิ่มขึ้นทีละ 251 ค่าของอีกฝั่งจะค่อยๆเพิ่มเป็นอนุกรมเรขาคณิตครับ

[nongtum]

ให้ $m=x^{251},\ n=y^{251}$ เราจะหา $mn,\ m+n$ ได้จาก
$\qquad (am+bn)(m+n)=am^2+bn^2+mn(a+b)$
$\qquad (am^2+bn^2)(m+n)=am^3+bn^3+mn(am+bn)$
แล้วจึงหา $am^8+bn^8$ จาก
$\qquad (am^k+bn^k)(m+n)=am^{k+1}+bn^{k+1}+mn(am^{k-1}+bn^{k-1})$ เมื่อ $k=3,4,\dots,7$

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JKung

$กำหนด a,b,x,y เป็นจน.จริง ซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ$

$a+b = 2$

$ax^{251}+by^{251} = 5 $

$ax^{502}+by^{502} = 14$

$ax^{753}+by^{753} = 41$

$จงหาค่าของ$ $ax^{2008}+by^{2008}$

ให้ $x^{251} = p, y^{251} = q$

ดังนั้น
$a+b=2 ...(1)$

$ap+bq=5 ...(2)$

$ap^2+bq^2=14 ...(3)$

$ap^3 + bq^3 = 41 ... (4)$

(2)-(1), $a(p-1)+b(q-1) = 3 ...(5)$

(3)-(2), $ap(p-1)+bq(q-1)=9 ...(6)$

(4)-(3), $ap^2(p-1)+bq^2(q-1)=27 ...(7)$

$3\times(5) = (6),$

$3a(p-1)+3b(q-1) = ap(p-1)+bq(q-1)$

ดังนั้น $a(p-1)(3-p) = b(q-1)(q-3) ... (8)$

$3\times(6) = (7),$

$3ap(p-1)+3bq(q-1)= ap^2(p-1)+bq^2(q-1)$

$ap(p-1)(3-p) = bq(q-1)(q-3) ... (9)$

แทน (8) ใน (9) จะได้

$b(q-1)(q-3)(p-q) = 0$

กรณีที่ 1, ถ้า p = q แล้วจะทำให้ระบบสมการ (1), (2), (3) ขัดแย้งกันเอง เป็นไปไม่ได้

กรณีที่ 2, ถ้า b = 0 แล้วจะทำให้ระบบสมการ (1), (2), (3) ขัดแย้งกันเอง เป็นไปไม่ได้

กรณีที่ 3, ถ้า q = 1 แล้ว $a(p-1)(3-p) = 0$
a = 0 ไม่ได้ เพราะจะทำให้ระบบสมการ (1), (2), (3) ขัดแย้งกันเอง
p = 1 ไม่ได้ เพราะจะทำให้ระบบสมการ (1), (2) ขัดแย้งกันเอง
ถ้า p = 3 แล้วระบบสมการ (1), (2) จะได้ว่า a = 3/2, b =1/2 เมื่อตรวจคำตอบกับสมการ (3), (4) จะพบว่าเป็นจริง ดังนั้น
(a, b, p, q) = (3/2, 1/2, 3, 1)

กรณีที่ 4 , ถ้า q = 3 แล้ว $a(p-1)(3-p) = 0$
โดยความสมมาตร จะได้ว่า
(a, b, p, q) = (1/2, 3/2, 1, 3)

ดังนั้น $ap^8+bq^8 = \frac{3^9+1}{2} = 9842$

[Onasdi]

โอ้.. เยี่ยมทั้งสองวิธีเลยครับ

[Siren-Of-Step]

สุโค่ยยยยยยยยย