ช่วยหน่อยครับ ตรีโกณ

[ครูนะ]

$cos^8A - sin^8A = 5/27$ ค่าของ $cos2A$ เท่ากับเท่าใด

ช่วยคิดให้หน่อย ผมคิดแล้วติดจริงๆ รบกวนเอาความโง่ออกจากหัวผมทีครับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

$cos^8A - sin^8A = 5/27$ ค่าของ $cos2A$ เท่ากับเท่าใด

ช่วยคิดให้หน่อย ผมคิดแล้วติดจริงๆ รบกวนเอาความโง่ออกจากหัวผมทีครับ

หลักการคือจัดรูปทั้งหมดให้อยู่ในรูปของ cos 2A ครับ.

ให้ cos A = x, sin A = y และ cos 2A = z, sin 2A = w

$(x^8-y^8)=5/27$

$(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4) =5/27$

$z(1)((x^2+y^2)^2-2x^2y^2)=5/27$

$z(1-(1/2)w^2)=5/27$

$z(1-(1-z^2)/2)=5/27$

$z(1+z^2)=10/27 = (1/3)(10/9) = (1/3)(1+(1/3)^2)$

$z = 1/3$

[ครูนะ]

ขอบคุณมากครับ

จริงๆ ผมทำมาถึง

$z(1+z^2)=10/27$

แต่ผมมองไม่ออก จึงจัดรูปเป็นสมการกำลังสาม แล้วติดครับ

ผมไม่รู้จริงๆ ว่าต้องจัดเทอมด้านขวาให้เท่ากับด้านซ้าย

ความโง่ออกจากหัวแล้วครับ

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

$z(1+z^2)=10/27 = (1/3)(10/9) = (1/3)(1+(1/3)^2)$

$z = 1/3$

มีวิธีดูยังไงครับ ในการแยก 10/27 เป็น
$(1/3)(10/9) = (1/3)(1+(1/3)^2)$ น่ะครับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

ขอบคุณมากครับ

จริงๆ ผมทำมาถึง

$z(1+z^2)=10/27$

แต่ผมมองไม่ออก จึงจัดรูปเป็นสมการกำลังสาม แล้วติดครับ

ผมไม่รู้จริงๆ ว่าต้องจัดเทอมด้านขวาให้เท่ากับด้านซ้าย

ความโง่ออกจากหัวแล้วครับ

สมการกำลังสามจะมีรากเป็นจำนวนจริงอย่างน้อยหนึ่งค่าครับ ซึ่งถ้าเราจัดรูปเป็น $27z^3+27z-10=0$ แล้วโดย rational root theorem รากตรรกยะที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $\pm(1,1/3,1/9,1/27,2,2/3,...)$

แต่ถ้าเราเดาคำตอบที่เป็นไปได้ง่าย ๆ ก็จะทำได้เร็วกว่าครับ จากนั้นนำไปตั้งหารยาว ก็จะได้สมการกำลังสอง ซึ่งถ้าสมการดังกล่าวไม่มีรากเป็นจำนวนจริง ก็จะได้ว่าคำตอบมีเพียงรากเดียวที่เป็นจำนวนจริง.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

มีวิธีดูยังไงครับ ในการแยก 10/27 เป็น
$(1/3)(10/9) = (1/3)(1+(1/3)^2)$ น่ะครับ

ก็ใช้สามัญสำนึกในการเดาครับ รากที่สามของ 27 คือ 3 ดังนั้นเราควรแยกเป็น 1/3 ออกมาก่อนครับ จากนั้นข้างในมันเข้ารูปแบบพอดี ก็เลยได้ทันทีครับ เป็นความบังเอิญที่ลงตัว

[MiNd169]

ขอบคุณครับ