ช่วยคิดหน่อยครับ

1. ให้ a b c เป็นจำนวนจริงในช่วง (0,พาย/2) ซึ่ง
cos^2 a+cos^2 b+cos^2 c + 2cos a cos b cos c = 1 จะได้ a+b+c อยู่ในช่วงใด

2. 1000! มี 0 ลงท้ายกี่ตัว
3. ให้ a b c เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง
(a+1)(b+1)(c+1)= 3abc a เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 5 และ b+c>6 แล้ว a^2+b+c มีค่าเท่าไร

ข้อ2.นะครับ
1000! มีศูนย์ลงท้ายกี่ตัว

ศูนย์จะลงท้ายได้กี่ตัวก็ต้องดูว่า 2คูณ5 มีกี่ตัว
ซึ่งเมื่อดูแล้วก็จะพบว่า 5มีจำนวนน้อยกว่า2 เพราะฉะนั้นน่าจะคิดแค่ว่า 1000! มี5เป็นตัวประกอบอยู่กี่ตัวนั่นเองครับ
1000 = 5(200)
ดังนั้นคิด5ทีละชุด (โดยตัดตัวเลขที่ไม่มี5ออกหมด)
5(1)*5(2)*5(3)*...*5(200) ชุดนี้มี5อยู่ 200ตัว
แต่ตัวในวงเล็บก็มี5ปนมาอีก
คิด5ในชุดวงเล็บ
1*2*3*4*5*...*200
ตัดตัวเลขที่ไม่มี5ออกหมดได้เป็น
5(1)*5(2)*...*5(40) ชุดนี้มี5อยู่อีก40ตัว
แต่ตัวในวงเล็บก็มี5ปนมาอีก
คิด5ในชุดวงเล็บ
1*2*3*4*...*40
ตัดตัวเลขที่ไม่มี5ออกหมดได้เป็น
5(1)*5(2)*5(3)*5(4)*5(5)*5(6)*5(7)*5(8) ชุดนี้มี5อยู่อีก9ตัว

เพราะฉะนั้นมี5ทั้งหมด 249ตัว
ซึ่งเมื่อนำมาคูณกับ2ที่มีมากกว่า 249ตัวแล้วจะได้ลงท้ายด้วยศูนย์ 249ตัว ครับ

แต่ผมว่าน่าจะมีวิธีการที่น่าจะดีกว่านี้นะครับ
และช่วยหาที่ผิดด้วยนะครับเผื่อว่าจะมองผิดหรือทำพลาดไป

[gon]

ข้อ 3 ก่อนละกันนะครับ.
แทนค่า ลงไปจะได้

(b+1)(c+1) = 2bc

จัดรูปใหม่จะได้

(b-1)(c-1) = 2

ดังนั้น b - 1 = 2 หรือ c - 1 = 1 หรือ กลับกัน
ดังนั้น b = 3 หรือ c = 2 หรือกลับกัน

แต่ b +c = 3+2= 5 < 6 ดังนั้น ไม่ OK.

กรณีที่ 2 : a = 3
แทนค่า ลงไปจะได้

4(b+1)(c+1) = 9bc

จัดรูปใหม่จะได้

(5b-4)(5c-4) = 36

ดังนั้น 5b - 4 = 1 และ 5c - 1 = 36 หรือกลับกันเท่านั้น
เนื่องจาก b และ c ต้องหารด้วย 5 ลงตัว (จะเป็น (2)(18) or (3)(12) or (4)(9) ไม่ได้ )

ดังนั้น b = 1 และ c = 8 หรือกลับกัน
และ b + c = 1 + 8 = 9 > 6 Ok.

ดังนั้น (a,b,c) = (3, 1, 8) หรือ (3, 8, 1)

จะได้ a^2 + b + c = 9 + 1 + 8 = 18 Ans

ข้อ 2. ถูกแล้วครับ . 249
จำนวนเต็มบวก x จะมี 0 ลงท้าย จำนวนตัว =
[x/5] + [x/25] + [x/125] + .... + [x/5^n] ตัว

เมื่อ n = 1, 2, 3, ....... และ 5^n <= x

และ [a] = จำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดที่ < = a
Ex. [-1.5] = -2 เป็นต้น

ดังนั้นเมื่อ x = 1000 ได้

[ 1000/ 5 ] + [1000/25] + [1000/125] + [1000/125]
= 200 + 40 + 8 + 1 = 249

ที่มาก็คล้ายที่คุณ ysylp ทำมาอย่างนั้น

ข้อ 1. ยังไม่ค่อยแน่ใจเท่าไรครับ.
เราจะได้ว่า
ถ้า A + B + C = pi
แล้ว cos^2 A + cos^2 B + cos^ C =
1 - 2 cos A cos B cos C
ก็คือ โจทย์นั่นเอง แสดงว่า
A + B + C = pi

Ans

แต่ผมสงสัยว่าทำไมไม่ถามว่าตอบเท่าไร
ทำไมจึงถามว่า อยู่ในช่วงใด .??

About the first problem, if we assume that a+b+c = pi, then we have the result. But the problem asks us the converse of this fact, that is if given this condition about a, b, c then what can we say about them. So we cannot assume that a+b+c = pi. It is the conditional statement "if...then..." Say if condition A holds then condition B holds; this would mean if B holds we cannot say anything about A but if B doesn't hold then A doesn't hold also.
So the way we should do about this problem is that we begin from the given condition and then write the expression in another form, it will turn out that the given condition is equivalent to
cos(a+b+c)/2 cos(-a+b+c) cos(a-b+c) cos(a+b-c) = 0
Since a,b,c are in (0, pi/2), we have
(a+b+c)/2 = pi/2 ---> a+b+c = pi or
-a+b+c = pi/2 or
a-b+c = pi/2 or
a+b-c = pi/2

So from -a+b+c = pi/2, we have a+b+c = pi/2 +2a and since a is in (0, pi/2), we have pi/2 < a+b+c < pi/2 + 2(pi/2) = 3pi/2. Since pi is also in this range, the answer should be
pi/2 < a+b+c < 3pi/2

มองโจทย์เป็นสมการกำลังสอง โดยใช้cosAเป็นตัวแปร
(cosA)^2+2cosBcosC(cosA)+(cosB)^2+(cosC)^2-1=0
จากนั้นก็ใช้สูตร(-b+or-sqrt(b^2-4ac))/2a แล้วจัดรูปสักนิด
จะได้ว่า cosA=-cos(B+C)หรือcosA=-cos(B-C)
แต่โดยเงื่อนไงของโจทย์cosAเป็นบวกเสมอและ-cos(B-C)เป็นลบเสมอจึงใช้ไม่ได้
ดังนั้น cosA=-cos(B+C)เท่านั้น
จึงได้ว่า B+C=pi-A or B+C=pi+A
นั่นคือ A+B+C=pi or B+C-A=pi แต่ว่าโดยเงื่อนไขของโจทย์ B+C-A<pi
สุดท้ายจึงได้ว่า A+B+C=pi โดย A B C เป็นจำนวนจริงในช่วง (0,พาย/2)
แต่ที่ถามว่าอยู่ในช่วงใด เพราะว่าโจทย์ข้อนี้เป็นแบบตัวเลือก 4 ตัวเลือก
ข้อสอบปีนี้ง่ายมากๆ คาดว่าถ้าจะติดรอบแรกคงต้องทำสัก75%ถึงจะติด
ไม่รู้ว่าเด็กๆจะทำกันเป็นไงบ้างนะ

[gon]

ครับ ผมก็จะถามอยู่เหมือนกันว่ามันเป็นโจทย์แบบตัวเลือกรึเปล่า น้องคนตั้งคำถามก็ไม่รู้ว่าใคร
คงเป็น new user ที่เพิ่งมาตั้งคำถามที่บอร์ดนี้มั้งครับ. เพราะถ้าเป็นขาประจำนี่คงสมัครสมาชิกไปแล้ว รูปตัวแทนก็มีเยอะแยะน่าใช้ออก

อ้อ .คุณ Pol ครับ. ที่ผมว่ามานั่นมันเป็นเอกลักษณ์นะครับ. คือ เป็นความสัมพันธ์แบบก็ต่อเมื่อ แต่เผอิญผมใช้คำว่า ถ้า ... แล้ว จนเคยชินไม่ได้คิดถึงเรื่องความหมายเท่าไรนัก