|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#16
|
||||
|
||||
จะว่าไปแล้วยังมีอะไรน่าคิดเกี่ยวกับจำนวนอีกเยอะเลยครับ
ในปัจจุบันขณะนี้ระบบจำนวนที่ใหญ่ที่สุดก็คือจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งด้วยความที่ไม่ยอมแพ้ มนุษย์ก็สามารถหาจำนวนที่ยกกำลัง 2 แล้วติดลบได้ หลังจากที่ไม่เคยมีคนคิดว่าจะมีจำนวนแบบนี้อยู่ ถ้าคิดเล่นๆว่าเราสามารถสร้างจำนวนชนิดใหม่ที่หาคำตอบของสมการ $\frac{x}{0}=a$ ได้ และสอดคล้องกับระบบจำนวนเดิมทั้งหมด คงจะมีอะไรใหม่ๆอีกเยอะเลยครับ(ถ้ามีจริงคงเป็นยุคที่ก้าวหน้าสุดๆเพราะว่าคงจะสร้างอะไรที่คิดว่าสร้างไม่ได้จากจำนวนพวกนี้ก็ได้) คำถามทิ้งท้ายก่อนนอน จำนวนที่ยกกำลัด้วยจำนวนเชิงซ้อนจะหาค่าได้มั้ยครับ อยากรู้จัง
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#17
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จงหา $\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{1+e^x})^{\frac{1}{x}}$ 31 กรกฎาคม 2010 00:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ หยินหยาง |
#18
|
||||
|
||||
ได้$\frac{1}{e}$ ป่าวครับเพราะกำลังมันตัดกันอ่ะครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#19
|
||||
|
||||
ขอโทษครับ พิมพ์โจทย์ตกไป ต้องเป็นอย่างนี้ครับ
$\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{1+e^x})^{\frac{1}{x}}$ |
#20
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เท่ากับ $0^0$ ซึ่งไม่นิยาม แต่ถ้านำ $e^x$ มาหารทั้งเศษและส่วนก่อนก็จะได้ $$\lim_{x\to\infty}{(\frac{\frac{1}{e^x}}{\frac{1}{e^x}+1})}^{\frac{1}{x}}$$ $$=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{e}}{({\frac{1}{e^x}+1})}^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e}$$ รึป่าวครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#21
|
||||
|
||||
จุดประสงค์ของผมก็คือจะให้ตรวจสอบวิธีคิดที่ว่า ผมป้อน0เข้าไปแล้วรูทหลายครั้งแต่ได้0ครับ ตามที่คุณ Xx GAMMA xX แสดงไว้ว่าจริงหรือไม่ และต้องการบอกว่าคำที่ว่า $0^0$ ไม่นิยามครับแต่สามารถใช้แคลคูลัสหาลิมิตได้ครับ(มั้ง) ตกลงเป็นอย่างไรกันแน่
ลองคิดโจทย์อีกข้อดูครับ $\lim_{x \to 0^+} 0^x$ ว่าได้ค่าเท่ากับเท่าไร และที่เราพูดว่า $0^0$ คืออะไรกันแน่ ทำไมถึงบอกว่าไม่มีนิยาม หรือบอกว่าเป็น รูปแบบไม่กำหนด ตกลงมันเป็นอะไรกันแน่ แล้วถ้าเป็นไปตามหลักคิดที่ว่าโจทย์ที่ผมยกตัวอย่างทำไมถึงไม่เป็น 0 ละ แล้วถ้าอย่างนั้น มันจะมีค่าอะไรได้บ้าง แต่ทำไมถึงกดเครื่องคิดเลขทุกครั้งถึงได้แต่ 0 ละ ลองคิดดูครับ เดี๋ยวค่อยมาเสวนาใหม่ไปธุระก่อนครับ |
#22
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ถ้าคิดตามสมบัติของ 0 แล้ว 0 ยกกำลังเท่าไหร่ก็จะได้ 0 เสมอดังนั้น $0^0=0$ ด้วย ถ้าคิดตามกฏเลขยกกำลัง จะได้ว่าจำนวนใดๆยกกำลัง 0 ได้ 1 เสมอดังนั้น $0^0=1$ ด้วย จากข้อขัดแย้งนี้เราจึงไม่นิยามค่า $0^0$ หลักการเหมือนการพิจารณาการหารด้วย 0 อ่ะครับ ถ้า $a\not=0 ,\frac{a}{0}=b$ จะได้ $a=b\times0 ,a=0$ ก็จะขัดแย้งกับที่กำหนดไว้ แต่ถ้า a=0 จะได้ว่า $0=b\times0$ แสดงว่า b มีได้หลายคำตอบ นั่นคือ การหารด้วย 0 อาจไม่มีคำตอบ หรือ มีหลายคำตอบก็ได้ เราจึงไม่นิยามค่าที่หารด้วย 0 ครับ ส่วนลิมิตนั้นเราหาค่าได้อยู่แล้วครับและก็ไม่เป็น 0 เสมอไปเพราะลิมิตเป็นแค่การเข้าใกล้เท่านั้นไม่ใช่ค่า ณ จุด x=0 ครับ อีกอย่างการกดเครื่องคิดเลขนั้นมันจะหาค่าทุกครั้งที่เรากดคือพอเรากดรูท0 มันก็จะได้ 0 พอกดรูทอีกที มันก็คิดเป็นรูท 0อีก ก็จะได้ 0 ออกมาซึ่งจะไม่ใช่การยกกำลังซ้อนแล้วหาลิมิตครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#23
|
||||
|
||||
สมมติให้$\frac{0}{0} =n$
จะได้$0=(0)(n) 0=0 $ ดังนั้นจึงได้$n\in R$ หรือภาษาชาวบ้านคือnเป็นอะไรก็ได้(แต่ต้องเป็นRนะ) ดังนั้น$\frac{0}{0} $จึงไม่นิยามครับ แต่ถ้าพูดถึง$0^0=n$ $0=n^{\frac{1}{0}}$ อย่างไรต่อครับช่วยด้วย 31 กรกฎาคม 2010 22:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Xx GAMMA xX |
#24
|
||||
|
||||
เอาใหม่ครับ
$lim_{x\rightarrow 0^+}{0^x}=0$ครับ เพราะ$0^{0.001}=0และ0^{0.0001}=0$ครับ ในนองเดียวกัน$lim_{x\rightarrow 0^-}{0^x}=0$เช่นกัน ดังนั้น$lim_{x\rightarrow 0}{0^x}=0$ ผมก็มั่วเหมือนเดิมแหละครับไม่รู้จะถูกไหม 31 กรกฎาคม 2010 22:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Xx GAMMA xX |
#25
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เพราะว่า $ e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ แต่ถ้าใส่ x ด้วยจำนวนเชิงซ้อนปุ๊ป มันจะแยกเป็นสองส่วนคือ ส่วนจริงกับส่วนจินตภาพ ซึ่ง $e^{ix}$ มันบังเอิญไปเท่ากับ $cos(x)+isin(x)$ ทุกจำนวนจริง (อันนี้ผมยังไม่รู้นะครับว่ามันมายังไง ) ไม่แน่ ตรงนี้อาจเป็นที่มาของหน่วยเรเดียนก็ได้ ว่าทำไมต้องเป็นเรเดียน เพราะถ้าใส่วนรอบ $2\pi $ จะได้ค่าเดิม จึงกำหนดว่า 360$\circ$ = 2$\pi$ rad ทีนี้ ถ้าเราต้องการเปลี่ยนเป็นฐานอื่นก็ใช้ความรู้เรื่อง log มาแก้เอาครับ ไม่ยากมาก และก็ เตื่อนอย่างนึงว่า การแก้สมการที่ได้เลขยกกำลังเป็นจำนวนเชิงซ้อน จะหาคำตอบออกมาได้หลายค่า (คล้ายกับการแก้สมการ $sin\theta = \frac{1}{2} $) เพิ่มเติมนิดนึง เวลาเราพูดถึงเอกซ์โปเนนเชียลที่ยกกำลังด้วยจำนวนจริง ฟังก์ชันจะมีโดเมนเป็นจำนวนจริงบวก หรือพูดง่ายๆคือ ถ้าแก้สมการแล้วได้เลขยกกำลังมีค่าติดลบ เราจะตัดคำตอบนั้นทันที แต่ถ้าใช้ความรู้เรื่องนี้เข้ามาช่วยแล้ว ก็ไม่ยากที่จะแก้สมการออกมาเป็นจำนวนเชิงซ้อนหรอกครับ
__________________
keep your way.
31 กรกฎาคม 2010 23:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#26
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
อย่างแรก แน่นอนอยู่แล้วว่า ถ้า $x>0$ แล้ว $0^x = 0$ เสมอ ดังนั้น $\lim_{x \to 0^+} 0^x = \lim_{x \to 0^+} 0 = 0$ แต่ว่า $\lim_{x \to 0^-} 0^x$ มีค่าเข้าใกล้ infinity นะครับ ไม่ใช่ 0 เพราะ $0^{-0.0001} = \frac{1}{0^{0.0001}} = \frac{1}{0} $ (ซึ่งไม่นิยาม แต่ถ้าใช้ลิมิตจะได้ infinity) แสดงว่า ลิมิตสองข้างไม่เท่ากัน เมื่อไม่เท่ากันเรานิยามทันทีว่าลิมิตหาค่าไม่ได้ (ไม่ได้แปลว่า infinity นะครับ)
__________________
keep your way.
31 กรกฎาคม 2010 23:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#27
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
สมมติเรามีเครื่องคิดเลขที่กดเลขได้ 100 หลักขึ้นมา กว่าเราจะกดรูทให้ได้ 1 ก็ต้องใช้เวลานานกว่าเครื่องคิดเลขที่เราใช้อยู่แล้ว เพราะมันจะแสดงผลต่ำลงไปเรื่อยๆ หรือในขณะที่เครื่องร้อยหลักได้เลข 0 หลังจุดทศนิยมมากๆแล้ว เครื่องคิดเลขเราก็ปัดทิ้งกลายเป็น 1 ไปซะแล้ว นี่แหละคือขีดความสามารถของเครื่องคิดเลข
__________________
keep your way.
31 กรกฎาคม 2010 23:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#28
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เลยเกิดคำถามขึ้นอีกว่า จำนวนจริงยกกำลังด้วยจำนวนอตรรกยะจะเป็นจำนวนจริงอยู่มั้ยครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#29
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ส่วนลิมิตของตัวๆหนึ่งซึ่งถ้าแทนค่าแล้วได้ $0^0$ อันนี้เราพูดถึง ค่าของตัวเลขที่เข้าใกล้ $0^0$ แล้วไม่ได้แปลว่าลิมิตของฟังก์ชันหลายๆฟังก์ชันที่แทนค่าได้ $0^0$ จะมีค่าเป็น 0 เสมอไปนะครับ (งงป่าวเอ่ย) เช่น $\lim_{x \to 0} x^x =1$ อ้างอิง:
__________________
keep your way.
01 สิงหาคม 2010 00:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: double post+แก้เล็กน้อยโปรดใช้ปุ่มแก้ไข |
#30
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ที่เรามักพูดว่า $0^0$ นั้นมีอยู่ 2 กรณีด้วยกันครับ กรณีแรก คือไม่มีนิยาม เราใช้กรณีนี้เมื่อ 0 ตรงฐาน และตรงเลขยกกำลังนั้นมีค่าเป็น 0 ไม่ใช่เข้าใกล้ 0 เหตุที่เราไม่นิยามเพราะมันทำให้เกิดข้อขัดแย้งได้ในทางคณิตศาสตร์ หรือพูดง่ายๆก็คือไปขัดแย้งกับกฎเกณฑ์ที่ใช้กันในคณิตศาสตร์ อีกกรณีก็คือ อยู่ในรูปแบบไม่กำหนด (หรือ indeterminate form) เราจะพบมันได้ตอนเรียนแคลคลูลัส ซึ่ง 0 ตรงฐาน และตรงเลขยกกำลังนั้นมีค่าเข้าใกล้ 0 ไม่ใช่ ศูนย์ และด้วยเหตุนี้มั้งครับถึงได้ชื่อว่า indeterminate form (เพราะเรายังไม่สามารถกำหนดค่ามันได้ก่อน) เพราะต้องใช้เรื่องลิมิตในการหาค่าที่ว่าก่อนซึ่งค่าที่ได้ก็ขึ้นอยู่กับรูปแบบของโจทย์ อาจหาค่าได้หรือหาค่าไม่ได้ก็ได้ ภาษาไทยจึงใช้คำว่า รูปแบบไม่กำหนด ส่วนในกรณีของเครื่องคิดเลข ตรงฐานนั้นเป็น 0 ไม่ใช่เข้าใกล้ 0 ดังนั้นยกกำลังอะไรที่เป็นจำนวนจริงบวกก็เป็น 0 ครับ ซึ่งเมื่อเรากดเครื่องคิดเลข $\sqrt{0} =0$ ดังนั้นไม่ว่าเราจะกดกี่ครั้งก็เป็น 0 อยู่ดีครับ เหมือนที่คุณ poper ได้แสดงความเห็นไว้ครับ โจทย์ที่ผมให้ไว้ก็เพื่อให้เห็นรูปแบบต่างๆ ของ $0^0$ แค่นั้นเองครับ แล้วเคยสงสัยมั้ยครับว่าทำไมพออยู่ในรูปแบบไม่กำหนด เราถึงต้องใช้กฎของโลปิตาลมาช่วย และทำไมเวลาใช้ ถึงดิฟเศษ กับดิฟส่วน แยกจากกัน ทำไมไม่ดิฟ เศษส่วนเหมือนกับเวลาเราดิฟ ฟังก์ชั่นเศษส่วนทั่วไปครับ ลองคิดมันๆดูครับ |
|
|