|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ต้องการแนวคิดครับ
1. กำหนด F(a,b,c) = \( (a^{3}b-ab^{3})(b^{3}c-bc^{3})(c^{3}a-ca^{3}) \)
1.1 จงพิสูจน์ว่า 5 l F(a,b,c) 1.2 จงพิสูจน์ว่า 160 l F(a,b,c) 1.3 จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่มากที่สุดที่ทำให้ n l F(a,b,c) ทุกๆจำนวนเต็ม a,b,c |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
=a^2b^2c^2(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)\) เนื่องจาก \(n^2\equiv0,\pm1\ mod\ 5\) ทุกจำนวนเต็ม n เราจะพิจารณากรณีต่อไปนี้ a) หากอย่างน้อยหนึ่งในสามตัว (a,b,c) หารห้าลงตัว จะได้ 1.1 เป็นจริง b) หากไม่มีตัวใดหารด้วย 5 ลงตัว จะได้ว่าหนึ่งใน factor ผลต่างกำลังสองต้องหารห้าลงตัว (และจะมีห้าเพียงตัวเดียว) ซึ่งทำให้ 1.1 เป็นจริงเช่นกัน 1.2 โดยไม่เสียนัย เราจะพิจารณากรณีต่อไปนี้ ให้ a>b>c>0 เป็นจำนวนเต็ม a) ทั้ง a,b,c เป็นเลขคู่ จะได้ 64|F b) a,b คู่ c คี่ จะได้ \(16|a^2b^2\) และ \(4|a^2-b^2\) c) a คู่ b,c คี่ จะได้ \(4|a^2\) และ \(8|b^2-c^2\)..(*) d) a,b,c คี่ จาก (*) จะได้ \(8^3|(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)\) รวมกับผลที่ได้จากตอน 1.1 ก็จะได้ 1.2 1.3 เนื่องจาก n|F ทุกจำนวนเต็มบวก a,b,c จะได้จาก 1.2 ว่า \(n|2^5\cdot3^3\cdot5=4320\) ด้วย (กรณี (a,b,c)=(3,2,1) นั่นคือ nฃ4320) เราจะหาจำนวนนับ k ที่มากที่สุดที่ทำให้ \(3^k|F\) สำหรับทุก a,b,c เนื่องจาก \(n^2\equiv0,1\ mod\ 3\) ทุกจำนวนเต็ม n โดยการแจงกรณีในลักษณะเดียวกับ 1.1 และ 1.2 เราจะได้ k=3 ดังนั้น n=4320
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#3
|
||||
|
||||
ผมว่าให้ \(a,b,c\) เป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด 1.1 จะไม่เป็นจริงนะครับ
|
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
หากทั้ง a,b,c เป็นเลขคู่ จะได้ว่า a,b,c ลงท้ายด้วย 0,2,4,6,8 ซึ่งเมื่อยกกำลังสองแล้วจะลงท้ายด้วย 0,4,6 หากมีอย่างน้อยหนึ่งตัวลงท้ายด้วยศูนย์ 1.1 จะจริง หากไม่มีตัวใดลงท้ายด้วยศูนย์ ใน \(a^2,b^2,c^2\) ต้องมีอย่างน้อยสองตัวที่ลงท้ายซ้ำกัน ลบกันแล้วจะได้เลขท้ายเป็นศูนย์ ดังนั้น 1.1 เป็นจริงครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#5
|
|||
|
|||
OoO ขอบคุณสำหรับแนวคิดครับ
2. วันศุกร์ที่ 13 มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น เมื่อเปรียบเทียบกับวันอื่นๆในรอบสัปดาห์ ในเวลา 400 ปี มีมากน้อยเท่าใด |
#6
|
|||
|
|||
ขอแนวคิดอีกข้อนะครับ
3.กำหนด \( \displaystyle{x^2+y^2+z^2+2004w^2=4w(x+y+z)} \) แล้วค่าของ (x+2)(y+3)(z+4)(w+5)เป็นเท่าไร (เพชรยอดมงกุฎ'47 รอบแรกครับ)
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ 03 สิงหาคม 2005 21:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar |
#7
|
|||
|
|||
อีกข้อนะครับ
4.ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมใดๆ ต่อด้าน AB ไปที่จุด E แล้ว ต่อ BC ไปที่จุด D จากนั้นลาก AD ตัดกับ BE ที่จุด F ครับ BC : CD = 5 : 4 AC : CE = 5 : 6 ถ้าให้ AF = mAD และ BF = nBE แล้ว \( \displaystyle{\sqrt{m+n}} \) เป็นเท่าไร
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ 03 สิงหาคม 2005 21:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar |
#8
|
|||
|
|||
สำหรับข้อ 3 ของน้อง tummykung เมื่อย้ายข้างให้ขวามือเป็นศูนย์ จะได้
\(\large (x-2w)^{2}+(y-2w)^{2}+(z-2w)^{2}+ 1992w^{2}=0 \) ดังนั้น x=y=z=2w & w=0 สรุปว่า x=y=z=w=0 ข้อนี้จึงตอบ 120 ส่วนข้อ 4 Step 1: จากอัตราส่วนที่โจทย์กำหนด จะได้ พื้นที่ สามเหลี่ยม ABC,BCE ,ACD เป็น 5k, 6k,4k ตามลำดับ สำหรับบางค่า k Step 2: ลาก ED และใช้อัตราส่วนที่โจทย์กำหนดอีกครั้ง จะได้ พื้นที่สามเหลี่ยม CED เป็น 4.8k Step 3: ให้พื้นที่สามเหลี่ยม DEF เป็น y ดังนั้น \( \huge \frac{AD}{DF}=\frac{1}{m-1}=\frac{8.8k}{y}=\frac{9k}{10.8k+y}\) \(\huge \frac{BE}{EF}=\frac{1}{n-1}=\frac{10.8k}{y}=\frac{11k}{8.8k+y} \) solve สมการ คู่สุดท้าย บรรทัดใดบรรทัดหนึ่ง ให้ได้ ค่า k/y จากนั้นก็แทนค่าหา m,n จะได้ m=55 , n=45 และทำให้ข้อนี้ ตอบ 10 ครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#9
|
|||
|
|||
3.<ข้อนี้ผมไม่ค่อยแน่ใจว่าโจทย์มันจะถูกมั้ยนะครับ>
ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่ nณ3 และ k เป็นจำนวนเต็มบวก ให้ A = {1,2,3,...,n} และ B = {1,2,3,...,k} กำหนด F(n,k) = {f:AฎB l f(1)นf(2)นf(3)น...นf(n)นf(n+1)} P(n,k) = {f:AฎB l f(1)นf(2)นf(3)น...นf(n)} และ f(n,k) = จำนวนฟังก์ชันใน F(n,k) p(n,k) = จำนวนฟังก์ชันใน P(n,k) 3.1 จงหา F(5,3), P(5,3), f(5,3), p(5,3) 3.2 จงหาตวามสัมพันธ์ระหว่าง f(6,3),p(6,3),f(5,3) 3.3 จงพิสูจน์เพื่อแสดงการหาความสัมพันธ์ระหว่าง f(n,k),p(n,k),f(n-1,k) 3.4 จงหาสูตจรของ f(n,k) และ p(n,k) |
#10
|
||||
|
||||
ถ้ายึดตามนิยามของฟังก์ชันจาก A ไปยัง B ที่ว่า Df = A และ Rf ฬ B อย่าง F(5, 3) ก็หาไม่ได้ครับ เว้นเสียแต่จะหมายถึง ฟังก์ชันระหว่าง A กับ B (ซึ่งตามหลักสูตรมัธยมปกติ ไม่ได้กล่าวถึง) ซึ่งหมายถึง Df ฬ A และ Rf ฬ B แบบนี้พอหาได้ครับ.
|
#11
|
|||
|
|||
4. ให้ f:NฎN ที่กำหนดโดย f(1) = 1 , f(2n) = f(n) และ f(2n+1) = f(2n)+1
4.1 จงหาค่ามากที่สุดของ f(n) เมื่อ 1ฃnฃ16 4.2 จงหา n ทุกจำนวน 1 ฃ n ฃ 2548 ที่ทำให้ f(n) มีค่ามากที่สุด 5. ให้ f:NฎR ที่กำหนดโดย \[ f(1)=\frac{1}{2} \] \[ f(n+1) = (f(n))^{2}+f(n),\ n\geq1 \] จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุด และน้อยกว่า f(2548) 6.จงหาจํานวนลําดับที่มีความยาว 9 ที่สร้างจากเลข 1 จํานวน 5 ตัว และเลข 2 จํานวน 4 ตัว ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขแต่ละข้อต่อไปนี้ 1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2 เลข 1 ทั้ง 5 ตัวเรียงติดกัน 3 ไมมี 11 ปรากฏในลําดับ 4 ถ้าอ่านจากซ้ายไปขวาจะต้องพบเลข 1 อย่างน้อย 1 ตัวก่อนที่จะพบเลข 2 7. จงหาจํานวนลําดับ ที่มีความยาว 12 ที่สร้างจากเลข 2 จํานวน 5 ตัว เลข 2 จํานวน 4 ตัว และเลข 3 จํานวน 3 ตัว และสอดคล้องกับเงื่อนไขแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2. ไมมี 11 ปรากฏในลําดับ 3. ไมมี 11 และ 22 ปรากฏในลําดับ 4. ไมมี 11 หรือ 22 ปรากฏในลําดับ 5. ถ้าอ่านจากซ้ายไปขวา จะต้องพบเลข 1 อย่างน้อย 1 ตัว ก่อนพบเลข 2 และพบเลข 2 อย่างน้อย 1 ตัวก่อนพบเลข 3 8. ให้ M = \( a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{m} \ a_{i}ณ1 \) จงหาจำนวนลำดับที่มีความยาว n ที่สร้างจาก i จำนวน ai ตัว i = 1, 2, 3,...,m โดยที่เมื่ออ่านจากซ้ายไปขวาจะต้องพบ k อย่างน้อย 1 ตัว ก่อนที่ จะพบ k+1 สำหรับทุกๆ k = 1, 2, 3, ..., k-1 13 กันยายน 2005 15:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Tony |
#12
|
|||
|
|||
ข้อ 4 สังเกตได้ว่า f(2n-1) = n ทุกจำนวนนับ n
4.1 เห็นได้ x ที่ทำให้f(x)มากที่สุดที่เป็นไปได้คือ x=15 นั่นคือ f(x) มีค่ามากสุดคือ 4 4.2 จะได้ x ที่ให้ค่าf(x)มากที่สุดเพียงจำนวนเดียวคือ 2047 ได้ f(x)=11 ปล.ผมไม่ค่อยแน่ใจวิธีทำนะครับ ขอให้ช่วยตรวจด้วยครับ
__________________
The Inequalitinophillic |
#13
|
|||
|
|||
4. ถ้าเขียน n ในระบบเลขฐาน 2 จะได้ f(n) คือจำนวนของเลข1 ในระบบเลขฐานสองของ n
เราก็จะทราบว่า f(2047) = 11 แต่ผมไม่แน่ใจว่า จะมี n ที่ \( 2048\leq n \leq 2548 \) ที่มีค่ามากกว่า 11 รึเปล่า 5. ผมได้ \[ f(n)=\frac{(1+2)(1+2+4)(1+2+4+16)...(1+2+4+...+2^{2^{n-1}})}{2^{2^{n-1}}},n\geq2 \] แต่ผมไม่รู้จะหาค่าตามโจทย์ได้อย่างไร |
#14
|
|||
|
|||
ช่วยตรวจดูให้ด้วยนะครับ
6.1 \( \frac{9!}{5!4!} \) 6.2 \( \frac{5!}{4!} \) 6.3 1 6.4 \( \frac{8!}{4!4!} \) 7.1 \( \frac{12!}{5!4!3!} \) 7.2 \( \frac{7!}{3!4!}\times\left(\matrix{8\\ 5}\right) \) 7.5 69300 ( ข้อนี้ผมแยกเป็น 5 กรณีครับ) |
#15
|
|||
|
|||
ข้อ 4 แน่ใจครับ ว่าไม่มี เหตุผลเพราะ
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 คือ เลขฐานสองจำนวน 11 หลัก ที่ f(n) = 11 (ค่าที่มากที่สุดของ f(n) เมื่อ n เขียนในระบบเลขฐานสองแล้วได้ 11 หลัก) ต่อจากนั้น สมมติว่า n เขียนแล้วได้ 12 หลักนั่นคือ ต้องมีตัวแรกเป็น 1 จะได้ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 ซึ่งมีค่าอย่างต่ำ \( \displaystyle{2^{11}\ =\ 2048}\ \ \) แล้ว ตัวต่อมา ถ้าเป็น 1 จะมีค่าอย่างต่ำ \( \displaystyle{2^{11}+2^{10}\ =\ 3072\ >\ 2548} \) ดังนั้น ตัวที่ 2 จึงเป็น 0 แล้วตัวต่อมากทำนองเดียวกัน คือถ้า เป็น 1 จะมีค่าอย่างต่ำ \( \displaystyle{2^{11}+2^{9}\ =\ 2560\ >\ 2548} \) ก็จะได้ว่าขึ้นต้นเป็น 1 0 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 ซึ่งถ้าที่เหลือเป็น 1 หมด f(n) ก็น้อยกว่า 11 อยู่ดีครับ (ถ้ามีมากกว่านี้ มาตัวแรกก็เกินแล้วครับ)
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ 13 กันยายน 2005 23:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar |
|
|