โอ 44

1.กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดซึ่ง
n-6 หาร n^3+n^2+11 ลงตัว ถ้า p>1 เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งหาร n ลงตัวแล้ว p คือจำนวนใด

2. กำหนดให้ ax+b เป็นเศษเหลือจากการหาร
2x - 2^2x^2 + 2^3x^3 - 2^4x^4+...
+(-1)^n+1 2^nx^n ด้วย 4x^2-1 ถ้า n = 100 แล้ว a และ b มีค่าเท่าใด

3. f0(x) = 1/1-x และ fn(x) = f0(f n-1(x)) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว f2543(2543)-f2546(2546)+f2549(2549) มีค่าเท่าใด.. ( f0(x)คือห้อย0)

4. ถ้าx ซึ่งสอดคล้องกับสมการ |llxl - 2 l -k|=5 มีทั้งหมด 5 ค่า แล้ว k มีค่าเท่าไร

[gon]

ข้อ 1.
ให้ f(n)= n^3+n^2+11
f(6) = 6^3 + 6^2 + 11 = 263

แสดงว่า เศษเหลือ คือ 263
และ 263 เป็นจำนวนเฉพาะแสดงว่า
ดังนั้น n-6 | 263 ก็ต่อเมื่อ
n - 6 = 263
หรือ n = 269


เนื่องจาก 269 เป็นจำนวนเฉพาะ
และ p>1 , p| n ดังนั้น p = 269 Ans

ข้อ 2.
ให้ P(X) = 2x - 2^2x^2 + 2^3x^3 - 2^4x^4+...-2^100 x^10
เป็น ลำดับ GM. ซึ่ง r = -2x
ดังนั้น S(n) = 2x[1 - (-2x)^n] / (1+2x)
ัดังนั้น S(100) 2x[1 - (-2x)^100] / (1+2x) ....(1)

เมื่อ x = 1/2 แสดงว่า P(1/2) = 0 (แทนค่า x ลงใน (1) )
เมื่อ x = -1/2 แสดงว่า p(-1/2) = 0

ให้ P(x) = (4x^2-1)Q(x) + ax+b ....(2)
แทน x=1/2 ดังนั้น p(1/2) = 0 = (a/2) + b ...(3)
แทน x=-1/2 ดังนั้น p(-1/2) = 0 = (-a/2) + b ...(4)

จาก (3) และ (4) สรุปได้ว่า a = b = 0 Ans

ข้อ 3.
f[0](x) = 1/1-x และ f[n](x) = f[0](f [n-1](x))
ลองแทนค่าดูลงไปจะพบว่าเราแบ่งค่าฟังก์ชันต่าง ๆ ออกได้เป็นช่วง ๆ คือ

f[0](x) = f[3](x) = f[6](x) = .... f[3n](x) = 1/ 1-x ; n= 0,1,2,...
f[1](x) = f[4](x) = f[7](x) = .... f[3n+1](x) = x-1/x ; n= 0,1,2,...
f[2](x) = f[5](x) = f[8](x) = .... f[3n+2](x) = x ; n= 0,1,2,...

เนื่องจาก
2543 = 3(847) + 2
2546 = 3(848) + 2
2549 = 3(849) + 2

ดังนั้น

f[2543](2543)-f[2546](2546)+f[2549](2549)
= 2543 - 2546 + 2549
= 2546 Ans

ข้อ 4. ปล่อยให้คนอื่นคิดบ้างนะครับ. ชักเมื่อยแล้ว

ข้อ 4 (เข้าใจว่าเครื่องหมาย l หมายถึง ค่าสัมบูรณ์นะ)
| | lxl - 2 | - k | = 5
| lxl - 2 | - k = 5, -5
| lxl - 2 | = k+5, k-5
lxl - 2 = k+5, -k-5, k-5, -k+5
lxl = k+7, -k-3, k-3, -k+7
นั่นคือ |x| = (7 +- k), (-3 +- k)
ถ้าสมการนี้มีรากอยู่ 5 ตัว แสดงว่า (7 +- k) หรือ (-3 +- k) ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ (** อย่าลืมว่า |x| ต้องไม่เป็นค่าลบ **)
ดังนั้น k = +-7, +-3

ข้อ 2. ทำไม P(-1/2) = 0 ล่ะครับคุณ gon? ผมหาตรงๆได้ -100 อะครับ

ขออภัย ขอแก้ไขความงี่เง่าของตัวเองหน่อย (อีกแล้ว )
จากสมการ | lxl - 2 | = k+5, k-5
แสดงว่า k+5 >= 0 และ k-5 >= 0 นั่นคือ k >= 5
ดังนั้น k = 7 ได้ค่าเดียว

[gon]

ครับใช่ครับ. รีบคิดไปหน่อยเลยสะเพร่าต้องขออภัย
ในความผิดพลาดครับ
เผอิญข้อนี้ กรณีที่ x = 1/2 กับ -1/2
ถ้ามองเป็น GM. จะได้ r = 1,-1 ซึ่งใช้กับสูตร
หา S(n) นั้นไม่ได้
แต่ยังไงค่าแรก p(1/2) ก็ได้ 0 เหมือนเดิม
ส่วน P(-1/2) จะได้ -100

ดังนั้นจะเป็น
a/2 + b =0 ....(1).
-a/2 + b = -100 ....(2)
จะได้ a=100, b=-50

ขอบคุณที่ดูให้ครับ