หาค่าสมการตรีโกณข้อนี้ให้หน่อยครับผม

[ZoDiAcKNight]

$cosec 10^{\circ} + cosec 50^{\circ} - cosec 70^{\circ} = ? $

ตอนนี้เรียนเรื่อง การเปลี่ยน ผลบวก ผลต่าง ให้เป็น ผลคูณ

กับผลคูณ ให้เป็น ผลบวก ผลต่าง อยู่น่ะครับ

เฉลยบอกว่า 6

รบกวนช่วยแจงให้ดูทีครับ = ~ =

[กิตติ]

ผมมองเห็นเป็น$50=60-10$ กับ$70=60+10$
$csc10+csc50-csc70 = \frac{1}{sin10} +\frac{1}{sin50}- \frac{1}{sin70} $

$=\dfrac{sin50sin70+sin70sin10-sin10sin50}{sin10sin50sin70} $

$sin50=sin60cos10-cos60sin10$ และ $sin70=sin60cos10+cos6070sin10$
$sin50sin70=(sin60cos10)^2-(cos6070sin10)^2$......(1)
$sin70sin10=sin10cos10sin60+cos60sin^210$......(2)
$sin10sin50=sin10cos10sin60-cos60sin^210$.......(3)
(2)-(3) ;$sin70sin10-sin10sin50= 2cos60sin^210 $.........(4)
(1)+(4);$sin50sin70+sin70sin10-sin10sin50 = (sin60cos10)^2-(cos6070sin10)^2+2cos60sin^210$
$=\frac{3}{4}cos^210 -\frac{1}{4}sin^210+ sin^210$
$=\frac{3}{4}cos^210+\frac{3}{4}sin^210$
$=\frac{3}{4}$

มาดูตัวส่วน....$sin10sin50sin70$
$sin50sin70=\dfrac{3}{4}cos^210-\dfrac{1}{4}sin^210$
$=\frac{3}{4}cos^210-\frac{1}{4}(1-2cos^210)$
$=\frac{1}{4}(4cos^210-1) $
$=\frac{1}{4}(2cos20+1)$
$sin10sin50sin70=\frac{1}{4}(2sin10cos20+sin10)$
$=\frac{1}{4}(sin(10+20)+sin(10-20)+sin10)$
$=\frac{1}{4}(sin30+sin(-10)+sin10)$
$=\frac{1}{4}(sin30-sin10+sin10)$
$=\frac{1}{4}(sin30)$
$=\frac{1}{8}$

$\dfrac{sin50sin70+sin70sin10-sin10sin50}{sin10sin50sin70}=\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}} =6$
ดังนั้น
$csc10+csc50-csc70 =6$

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ZoDiAcKNight

$cosec 10^{\circ} + cosec 50^{\circ} - cosec 70^{\circ} = ? $

ตอนนี้เรียนเรื่อง การเปลี่ยน ผลบวก ผลต่าง ให้เป็น ผลคูณ

กับผลคูณ ให้เป็น ผลบวก ผลต่าง อยู่น่ะครับ

เฉลยบอกว่า 6

รบกวนช่วยแจงให้ดูทีครับ = ~ =

$cosec 10^{\circ} + cosec 50^{\circ} - cosec 70^{\circ} = \sec(2\pi/9) + \sec(4\pi/9) + \sec(8\pi/9) ...(*)$

พิจารณาสมการ $cos 3A = -1/2 = cos(2n\pi \pm 2\pi/3)$

จะไำด้ A = $2\pi/9, 4\pi/9, 8\pi/9$

ให้ x = cos A ดังนั้น

$4x^3 - 3x = -1/2$

$8x^3-6x+1=0$

ให้ y = 1/x ดังนั้น

$8/y^3-6/y+1=0$

$y^3-6y^2+8=0$

ดังนั้นโดยความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์จะได้

$1/cos(2\pi/9) + 1/cos(4\pi/9) + 1/cos(4\pi/9) = -(-6)$

$sec(2\pi/9) + sec(4\pi/9) + sec(8\pi/9) = 6$

[กิตติ]

วิธีของคุณสามดาว...สุดยอดครับ
ผมยกให้เป็นเจ้าพ่อGenerate Function....

[bell18]

ใช่แล้วครับ สุดยอดเหนือคำบรรยาย
ดูแล้วเพลิดเพลิน สุดคลาสสิคจริงๆ

[ZoDiAcKNight]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ผมมองเห็นเป็น$50=60-10$ กับ$70=60+10$
$csc10+csc50-csc70 = \frac{1}{sin10} +\frac{1}{sin50}- \frac{1}{sin70} $

$=\dfrac{sin50sin70+sin70sin10-sin10sin50}{sin10sin50sin70} $

$sin50=sin60cos10-cos60sin10$ และ $sin70=sin60cos10+cos6070sin10$
$sin50sin70=(sin60cos10)^2-(cos6070sin10)^2$......(1)
$sin70sin10=sin10cos10sin60+cos60sin^210$......(2)
$sin10sin50=sin10cos10sin60-cos60sin^210$.......(3)
(2)-(3) ;$sin70sin10-sin10sin50= 2cos60sin^210 $.........(4)
(1)+(4);$sin50sin70+sin70sin10-sin10sin50 = (sin60cos10)^2-(cos6070sin10)^2+2cos60sin^210$
$=\frac{3}{4}cos^210 -\frac{1}{4}sin^210+ sin^210$
$=\frac{3}{4}cos^210+\frac{3}{4}sin^210$
$=\frac{3}{4}$

มาดูตัวส่วน....$sin10sin50sin70$
$sin50sin70=\dfrac{3}{4}cos^210-\dfrac{1}{4}sin^210$
$=\frac{3}{4}cos^210-\frac{1}{4}(1-2cos^210)$
$=\frac{1}{4}(4cos^210-1) $
$=\frac{1}{4}(2cos20+1)$
$sin10sin50sin70=\frac{1}{4}(2sin10cos20+sin10)$
$=\frac{1}{4}(sin(10+20)+sin(10-20)+sin10)$
$=\frac{1}{4}(sin30+sin(-10)+sin10)$
$=\frac{1}{4}(sin30-sin10+sin10)$
$=\frac{1}{4}(sin30)$
$=\frac{1}{8}$

$\dfrac{sin50sin70+sin70sin10-sin10sin50}{sin10sin50sin70}=\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}} =6$
ดังนั้น
$csc10+csc50-csc70 =6$

เอาตามวิธีนี้ดีสุดแล้ว ของคุณ สามดาว + ~ + ผมยัง งงๆ อยู่เลย

[กิตติ]

วิธีของคุณห้าดาวนั้น....เป็นอีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาครับ อาศัยการสร้างฟังก์ชันขึ้นมา โดยสิ่งที่โจทย์ถามนั้น เป็นสัมประสิทธิ์ในพจน์ของสมการฟังก์ชันกำลังสาม
ผมก็กำลังศึกษาอยู่...ด้วยการลองโหลดเอกสารจากเวปไซด์มาอ่าน ไม่ง่ายเลย สมองคนแก่นี่เรียนรู้ช้าจัง
น่าจะเป็นความรู้ที่เกินระดับม.ปลาย น่าจะประมาณอุดมศึกษาปี1ปี2

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

วิธีของคุณห้าดาวนั้น....เป็นอีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาครับ อาศัยการสร้างฟังก์ชันขึ้นมา โดยสิ่งที่โจทย์ถามนั้น เป็นสัมประสิทธิ์ในพจน์ของสมการฟังก์ชันกำลังสาม
ผมก็กำลังศึกษาอยู่ น่าจะเป็นความรู้ที่เกินระดับม.ปลาย น่าจะประมาณอุดมศึกษาปี1ปี2

ระดับปริญญาตรีผมไม่เคยเรียนเนื้อหาพวกนี้เลยครับ เข้าใจว่าคงมีสอนเฉพาะบางมหาวิทยาลัย

ที่เคยเห็นคือที่จุฬาฯ จะมีวิชา ทฤษฎีสมการ ซึ่งเปิดเป็นวิชาเลือกให้กับนิสิต คณะครุศาสตร์

แต่ว่าตอนนี้มีในหลักสูตรของ สอวน. แล้วครับ เด็กม.ปลายก็เรียนได้และ

เป็นการปูพื้นฐานไปเรียนวิชาพวก Abstract Algebra ได้ด้วยครับ

[sahaete]

\[\begin{array}{l}
\cos ec10 + \cos ec50 - \cos ec70 \\
= \frac{1}{{\sin 10}} + \frac{1}{{\sin 50}} - \frac{1}{{\sin 70}} \\
= \frac{{\sin 50\sin 70 + \sin 10\sin 70 - \sin 10\sin 50}}{{\sin 10\sin 50\sin 70}}\quad \\
consider\quad \sin 10\sin 50\sin 70 \\
= \cos 20\cos 40\cos 80 = \frac{{2\sin 20\cos 20\cos 40\cos 80}}{{2\sin 20}} \\
= \frac{{2\sin 40\cos 40\cos 80}}{{2 \cdot 2\sin 20}} = \frac{{\sin 80\cos 80}}{{4\sin 20}} = \frac{{2\sin 80\cos 80}}{{2 \cdot 4\sin 20}} \\
= \frac{{\sin 160}}{{8\sin 20}} = \frac{{\sin \left( {180 - 20} \right)}}{{8\sin 20}} = \frac{1}{8}\quad fill\;in \\
\end{array}\]



\[\begin{array}{l}
from\quad \sin 50\sin 70 = \frac{1}{2}\left[ {\cos 20 - \cos 120} \right] \\
from\quad \sin 10\sin 70 = \frac{1}{2}\left[ {\cos 60 - \cos 80} \right] \\
from\quad \sin 10\sin 50 = \frac{1}{2}\left[ {\cos 40 - \cos 60} \right] \\
then \\
\sin 50\sin 70 + \sin 10\sin 70 - \sin 10\sin 50 \\
= \frac{1}{2}\left[ {\cos 20 - \cos 120 + \cos 60 - \cos 80 - \cos 40 + \cos 60} \right] \\
= \frac{1}{2}\left[ {\frac{3}{2} + \cos 20 - \left( {\cos 80 + \cos 40} \right)} \right] \\
= \frac{1}{2}\left[ {\frac{3}{2} + \cos 20 - 2\cos 60\cos 20} \right] = \frac{3}{4}\quad fill\;in\; \\
then\quad = \frac{3}{4} \times \frac{8}{1} = 6 \\
\end{array}\]

ขอความเห็นในฐานะสมาชิกใหม่ด้วยครับ
ขอบคุณ

[กิตติ]

วิธีของคุณSahaete...ก็สั้นดีครับ แล้วแต่การมองว่าตรงขั้นไหนจะแปลงเป็นฟังก์ชันตรีโกณอะไร
ส่วนวิธีไหนจะสั้นกว่ายาวกว่าก็อีกเรื่องครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ขอผมลองบ้างครับ
ห่างหายไปหลายวัน ขอเสนออีกแนวครับ
ให้ $a=sin10$
จากโจทย์จะได้$\frac{1}{sin10^o} +\frac{1}{sin50^o}-\frac{1}{sin70^o}$
$=\frac{1}{a}+\frac{1}{sin60^ocos10^0-sin10^ocos60^0}-\frac{1}{sin60^ocos10^0+sin10^ocos60^0}$
$=\frac{1}{a}+\frac{2sin10^ocos60^0}{sin^260^ocos^210^0-sin^210^ocos^260^0}$
โดย$cos^210^o=1-sin^210^0=1-a^2$
$=\frac{1}{a}+\frac{a}{\dfrac{3}{4}(1-a^2)-\frac{1}{4} a^2 }$
$=\frac{1}{a}+\frac{4a}{3-4a^2}=\frac{3}{3a-4a^3}$
$\frac{3}{3sin10^0-4sin^31o^0}=\frac{3}{sin30^0}=6$

[กิตติ]

ดีครับ..โจทย์ข้อเดียว เข้ามาแชร์มุมมองการแก้
คุณกระบี่คงรอให้ลูกหลับก่อนค่อยย่องเข้ามาMCสิครับ
เหมือนผมเลยครับ ก่อนเที่ยงคืนหลับง่าย หลังเที่ยงคืนปุ๊ปตื่นง่ายแถมงอแงอีก
เขาว่ากันว่าเลยสามเดือนเด็กจะปรับการกินการนอนได้ ผมจึงได้แต่รอครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ครับ ผมตาสิบสอง(ตาโหล)แล้วครับ
ไว้ถ้ามีอะไรติดขัดในการเลี้ยงลูกจะpmไปถามคุณกิตตินะครับ