ขอคำแนะนำโจทย์พาราโบลาครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

เราต้องการหา $A$ ที่สอดคล้องเงื่อนไข $A>0$ และ $0<\dfrac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}<1$ และ $B^2-4AC>0$
ควรเริ่มจากแปลงเงื่อนไขให้ง่ายลง และจะพยายามรักษาความสมมูลของเงื่อนไขไว้ด้วย (คือการทำให้เป็น "ก็ต่อเมื่อ" อะครับ)

ผมว่าเข้าใจโจทย์ผิดหรือเปล่าครับ โจทย์ไม่ได้ให้ตีความว่าคำตอบของสมการอยู่ในช่วง $(0,1)$ เท่านั้นมันเพียงกรณีหนึ่งในหลายกรณีไม่ใช่หรือครับ โจทย์บอกว่าคำตอบตัวหนึ่งคือ $0<x_1$ และอีกตัว $x_2<1$ เช่น
$x_1=3 $ ส่วน $x_2 = -2$ ดังนั้นสมการที่ว่าก็คือ $(x-3)(x+2)$ ในกรณ๊นี้ $A = 1$ หรือ
$x_1=2 $ ส่วน $x_2 = -3$ ดังนั้นสมการที่ว่าก็คือ $(x+3)(x-2)$ ในกรณ๊นี้ $A = 1$

หรือว่าผมเข้าใจโจทย์ผิดครับ

[กิตติ]

ตีความการเขียน$0<x_1,x_2<1$...ว่าหมายถึงให้ทั้งสองค่าอยู่ระหว่าง0ถึง1ก็ได้
หรือหมายความว่า$0<x_1$ กัีบ $x_2<1$...ก็ได้
โดยทั่วไปผมเห็นแล้วเข้าใจเป็นแบบแรก เพราะผมเองเขียนแบบนี้ด้วยความเข้าใจแบบนี้บ่อยๆ
ถ้าข้อสอบเขียนว่า$0<x_1$ และ $x_2<1$....อย่างนี้แจ่มแจ้งกว่า

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ผมลองใช้กราฟดูแล้วจะได้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอคือ
$1) f(0)>0$
$2) 0<-\frac{B}{2A}<1$
$3) B^2-4AC>0$
$4) f(1)>0$
จะได้
$1) C>0$
$2) B<0$
$3) 0<A<\frac{B^2}{4C}$
$4) A>-(B+C)$
แล้วไงต่อครับ งง

เอาใหม่ครับ
จาก $3)0<A<\frac{B^2}{4c}$ และ $4)A>-(B+C)$
เปรียบเทียบค่าระหว่าง $\frac{B^2}{4c}$ กับ $-(B+C)$
$$\frac{B^2}{4C}+(B+C)=\frac{{(2C+B)}^2}{4C}\geqslant 0$$
ดังนั้น $\frac{B^2}{4c}\geqslant -(B+c)$
จะได้ว่า $-(B+C)<A<\frac{B^2}{4c}$
เพื่อให้ 3) เป็นจริงด้วย $-(B+C)\geqslant 0$ ----> $B\leqslant -C$
เนื่องจาก A เป็นจำนวนเต็ม ช่วงของ A จะมีคำตอบเมื่อ $\frac{B^2}{4c}+(B+C)>1$
$2C+B<-2\sqrt{C}$ หรือ $2C+B>2\sqrt{C}$
$B<-2c-2\sqrt{C}$ หรือ $B>-2c+2\sqrt{C}$

จากนั้นก็ลองแทนค่า B,C ที่สอดคล้อง เช่น C=1 , B={-5,-6,-7,...} B ที่สอดคล้องคือ $B\leqslant -C$
จะได้ A=5,6,7,8,....
ดังนั้น $A\geqslant 5$
รบกวนช่วยดูให้ด้วยนะครับ
ไม่แน่ใจว่าถูกรึป่าวครับ

[Onasdi]

เห็นด้วยครับว่าสามารถตีความโจทย์ได้สองแบบ เดาใจคนออกข้อสอบไม่ถูกเหมือนกัน

คุณ poper จาก $B>-2C+2\sqrt{C}$ สรุปไม่ได้นะครับว่า $C=n^2$
ตัวอย่างเช่น $B=-1,~C=2$ จะเห็นว่า $-1>-2\cdot 2+2\sqrt{2}$ จริง

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

เห็นด้วยครับว่าสามารถตีความโจทย์ได้สองแบบ เดาใจคนออกข้อสอบไม่ถูกเหมือนกัน

คุณ poper จาก $B>-2C+2\sqrt{C}$ สรุปไม่ได้นะครับว่า $C=n^2$
ตัวอย่างเช่น $B=-1,~C=2$ จะเห็นว่า $-1>-2\cdot 2+2\sqrt{2}$ จริง

ขอบคุณครับ คุณ Onasdi พอตัดเงื่อนไขนี้ออกไป C จะเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 0
ก็เลือก B ที่สอดคล้องกับ $B\leqslant -C$ ก็จะได้คำตอบเท่าเดิมครับ
(แก้แล้วครับ)

[Onasdi]

ถูกครับ แต่เรายังสรุปไม่ได้ว่า $A<5$ ไม่ได้นะครับ

[กิตติ]

เพิ่งคิดออกตอนขับรถกลับบ้าน โดยอาศัยเงื่อนไขดังนี้
$A>C,A+B+C>0,A<\frac{B^2}{4C} $
$Aเป็นจำนวนเต็มบวก$
$Bเป็นจำนวนเต็มลบ$
$Cเป็นจำนวนเต็มบวก$
ดังนั้น เราเริ่มกำหนดจาก$A$ ให้$A=1,2,3,...$
ซึ่งเริ่มจาก$A=1$ไม่ได้ เพราะไม่มีค่า$C$เริ่มต้น จึงเริ่มจาก$A=2$ ทำให้ได้$C=1$ เราก็หา$B$จากเงื่อนไขที่เหลือ ซึ่งไม่ได้ค่า$B$ที่ใช้ได้สักค่า
เริ่มจาก$A=3$ เราได้ว่า$C=1,2$ ก็ยังไม่ได้ค่า$B$ตามเงื่อนไข เช่นเดียวกับ$A=4$ก็ยังไม่ได้ค่า$B$ตามเงื่อนไข
ถ้า$A=5$ จะได้ว่า$C=1,2,3,4$ ลองให้$C=1$ก่อน จะได้ว่าค่า$B$ที่ตรงกันเงื่อนไขค่าแรกคือ$B= -5$
$5>1,5+(-5)+1 = 1 >0, 5 < \frac{25}{4} $.....ตามการพิสูจน์ขอให้ได้ค่าทั้งสามเพียงหนึ่งชุด ก็พอสรุปได้ว่าถ้า$A=5$ จะทำให้สมการพาราโบลานี้มีรากเป็นเศษส่วนบวก สมการนี้คือ$y=5x^2-5x+1$ รากที่ได้คือ$\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5} }{10} $ ซึ่ง$\frac{\sqrt{5} }{10}$มีค่าน้อยกว่า$\frac{1}{2}$
ต่อไปให้$A=6$ และให้$C=1$ จะได้ค่า$B$ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขคือ $-5$
$6>1,6+(-5)+1 =2 >0, 6< \frac{25}{4}$
สมการนี้คือ $y=6x^2-5x+1$ ซึ่งคือ$y=(x-\frac{1}{2} )(x-\frac{1}{3})$
จะเห็นว่าเมื่อขยับค่า$A$ไปเรื่อยๆ เราจะหาค่า$B,C$มาแทนได้เสมอ....
จึงตอบว่า$A\geqslant 5$

[poper]

ใช่แล้วครับ ไม่ว่าเราจะแทนค่า C ด้วยจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็จะหาค่า B ที่สอดคล้องได้เสมอ
ซึ่งจะทำให้ได้ค่า A เป็นจำนวนเต็มที่มีค่าเริ่มต้นน้อยสุดคือ 5 ครับ

[Onasdi]