เถียงกันไม่เลิก : Monty Hall Problem

[หยินหยาง]

เข้ามาบอกว่าสมกับชื่อกระทู้เลยครับ

เถียงกันไม่เลิก

หวังว่าเถียงในที่นี้คือ ถกเถียง เพื่อให้ได้ข้อสรุปนะครับ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ It'S ME

เรื่องที่เราคุยกันอยู่นี้ สิ่งที่คงที่จริงๆ มีเพียงแค่ p(a) กับ p(อื่น) ครับ ไม่ใช่ว่าใจผมนึกไปเอง แต่เป็นเพราะผมมองว่า sample space ไม่เปลี่ยนแปลง (ลองติดตามต่อนะครับ ว่าทำไม?)

ผมสุ่มเลือก a ไปมั่วๆ ในครั้งแรกโดยไม่ได้คิดอะไร ตอนที่มีประตู 3 บาน และ a ก็เป็นแค่ 1 ใน 3 บานนั้น

แล้วผมก็สนใจว่าไอ้สิ่งที่ผมเลือกนี้ มันมีความเป็นไปได้แค่ไหนกัน?

ผมก็รู้โดยทันที โดยหลักความน่าจะเป็นธรรมดาๆว่า ยังไงๆ โอกาสที่ผมจะถูกก็แค่ 1 ใน 3 (แต่โอกาสผิดถึง 2 ใน 3)
ด้วยเหตุผลที่ว่า p(a)+p(อื่น) = 1 ผมได้ว่า p(a) = 1/3 และแน่ใจได้ว่า p(อื่น) = p(b)+p(c) = 2/3

ถึงแม้ว่าตอนนี้ ผมจะยังไม่รู้ว่า p(b) หรือ p(c) นี่ แต่ละตัวเท่าไหร่? ผมก็ไม่จำเป็นต้องกังวล ผมรู้ว่าสักพักพิธีกรต้องบอกใบ้ให้ผม เพราะ... เขาจะต้องเลือกเปิดไม่ประตู b ก็ประตู c ให้ผมดู

สมมุติว่าพิธีกรเปิดประตูบาน b (ไม่ได้แปลว่า sample space เปลี่ยนแปลงนะครับ) เท่ากับเป็นการบอกใบ้ว่า ประตูบาน b น่ะมันผิด หรือ p(b) = 0/3 นั่นเอง คือมันไม่มีโอกาสเป็นไปได้เลยที่ประตู b จะถูก

ทีนี้ล่ะ ผมถึงได้รู้ว่า p(b) น่ะ 0/3 ผมก็เลยได้ว่า p(อื่น) = 0 + p(c) = 2/3

เหตุผลที่ผมไม่สามารถที่จะเอาความน่าจะเป็นของ b ไปเพิ่มให้ a ได้ ไม่ใช่เพราะผมชอบ c มากกว่า a หรอกนะครับ

เพียงแต่ว่าเราเลือกพิจารณา p(a) กับ p(อื่น) และพอดีว่า p(b) มันรวมอยู่ใน p(อื่น) แล้วนั่นเอง

...

จุดเริ่มต้นหรือตัวต้นเหตุ(สมุทัย) มันมาจากบรรทัดที่ผมไฮไลท์สีแดงไว้แหละครับ การที่รู้ว่า p(b)=0 สรุปไม่ได้ว่า p(อื่น) จะต้องเป็น 2/3
เพราะสมการที่ได้จริงๆหลังจากเปิดกล่องb มันคือ p(a)+p(c)=1 --(*) (มาจาก p(a)+p(b)+p(c)=1 ; รู้ p(b)=0 )

ซึ่งจากสมการ(*) จะเห็นได้ว่า p(a),p(c) เปลี่ยนไปเป็นอะไรก็ได้ ขอให้รวมกันได้เป็น 1 <---นี่คือสิ่งที่อนุมานได้จาก การที่ p(b)=0
ไม่ใช่พอ p(b)=0 กลายเป็นว่ารู้ p(a)=1/3,p(c)=2/3 ซะอย่างนั้นไป

คำถามก็คือ เราจะเลือกให้ p(a),p(c) เปลี่ยนไปได้ด้วยวิธีไหน วิธีดั้งเดิมที่ใช้กันมาแต่นมนาน คือ equally likely outcome หมายถึงว่า ของที่ลักษณะเหมือนกันย่อมมีความน่าจะเป็นเท่ากัน (เช่นเหรียญมี 2 หน้า ไม่ได้สนใจว่าหน้านั้นจะสวยงามอย่างไร เปรียบกับข้อนี้คือไม่สนใจว่าในกล่องจะมีอะไร แต่เหตุการณ์ที่จะออกแต่ละด้านออกมา ก็คือ1/2 หรือเหตุการณ์ที่แต่ละกล่องจะถูกเลือกก็ควรเป็น 1/2)

การที่ไปคิดว่ามี p(อื่น)=p(b)+p(c) แล้วจับ p(b),p(c) มารวมกัน มันก็เหมือนกับหลอกตัวเองว่า มันต้องมาอยู่กลุ่มเดียวกัน ทั้งที่จริงๆแล้วไม่มีอะไรบ่งบอกว่ามันจะต้องมาคิดรวมกัน
ราวกับว่า การที่มารวมกลุ่มของที่ไม่ได้เลือกนั้น เป็นบันไดที่นำไปสู่ความน่าจะเป็น p(c)=2/3 นั่นเอง หรือสำหรับกรณีทั่วไปที่มีของเยอะกว่านั้น เช่น กรณีใบดำใบแดง(ที่จะพูดต่อด้านล่าง)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

กลับมาที่โจทย์ของกระทู้นี้ที่ จขกท.ตั้งไว้ (เรื่องใบดำใบแดง)

ผมอยากจะถามว่า แล้วทำไม ไม่ลองคิดกลับมาบ้างล่ะครับว่า ใบที่เราเลือกมาตอนแรกนั้นมันก็ได้อนิสงค์ของการที่คนอื่นไปทำให้ความน่าจะเป็นของใบอื่นเป็น 0 เหมือนกันกับใบที่ไม่ได้เลือกที่เหลืออยู่ 1 ใบ เพราะมันก็เป็นสมาชิกหนึ่งใน sample space ที่ยังไม่ได้รับการแตะต้องใดๆ ไม่มีการเปิดเผยความน่าจะเป็นออกมาเหมือนกับใบที่ถูกเฉลย มันก็ควรจะได้รับการกระทำที่เหมือนกันกับใบอื่นที่ยังไม่ได้ถูกเปิดเผยเช่นกัน (เพราะไม่มีเหตุผลอะไรที่มันจะไม่ควรได้ ไม่ว่ายังไง มันก็เป็นของที่เกิดมาพร้อมกัน พิจารณาพร้อมกันแต่ต้น)

ขอสรุปอีกที

สิ่งที่ผมกำลังจะสื่อทั้งหมดตั้งแต่ตอนแรกคือ มันเกิดการคิดที่ bias ขึ้น โดย ทิ้งขว้างสิ่งที่เราเลือกมาตั้งแต่ต้น แล้วไปสนใจอยู่แค่สิ่งที่ไม่ได้เลือก เชื่ออยู่แต่ว่าสิ่งที่ไม่ได้เลือกนั้น จะไปรวมกลุ่มกันเอง แล้วความน่าจะเป็นก็ไปโอนย้ายกันอยู่เองกับกลุ่มที่ไมได้เลือก (ทั้งๆที่ของทุกอันก็มีศักดิ์เท่ากัน ไม่ได้ต่างกันเลย) ซึ่งการคิดแบบนี้จะทำให้เกิดเหตุการณ์ที่ของที่เลือกไว้แต่แรกความน่าจะเป็นคงที่ และ ของที่ไม่ได้เลือกกับมีความน่าจะเป็นเปลี่ยนแปลงได้ ทั้งๆที่มันก็เป็นของชิ้นๆหนึ่งเหมือนกัน มันถูกต้องแล้วหรือ?

ซึ่งการคิดแบบ bias ผมก็ไม่ได้บอกว่าผิด เพราะในความน่าจะเป็นก็มี Bayesian Probability ที่ใช้ความน่าจะเป็นที่เป็น"ความเชื่อ"ของแต่ละคน แต่ก็นั่นละครับ ความเชื่อนั่นมันต้องมีหลักฐาน(เช่นมาจากการทดลอง) มีเหตุผลเพียงพอ มันถึงจะน่าเชื่อถือ ไม่ใช่จู่ๆก็คิดเอาเอง ใครสนใจลองตามไปอ่านเพิ่มเติมดูครับ
http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%...B8%A2%E0%B9%8C

[It'S ME]

สำหรับตัวผมเอง ผมไม่ได้มองว่าสุดท้ายเราเลือกบานใดบานหนึ่งในสองบาน

จริงๆ แล้ว เราต้องเลือกระหว่าง "ยืนยันคำตอบเดิม" กับ "เปลี่ยนคำตอบใหม่(คำตอบอื่นที่ไม่ใช่คำตอบเดิม)"

สมมุติผมขยาย ไปเป็น 4 บาน และพิธีกรตัดบานที่ไม่ใช่ทิ้งไป 2 บาน (ความน่าจะเป็นสองบานนั้นเป็น 0/4)... ให้ผมยืนยันระหว่างคำตอบแรกที่เลือก(ความน่าจะเป็น 1/4) หรือเปลี่ยนเป็นเลือกบานที่เหลือ (ความน่าจะเป็น 3/4) ผมก็ต้องเลือกบานที่เหลืออยู่ดี

กรณี n บาน ก็ทำนองเดียวกัน คำตอบแรกที่เลือกความน่าจะเป็นแค่ 1/n ส่วนบานที่เหลือสุดท้ายความน่าจะเป็น (n-1)/n

[It'S ME]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

จุดเริ่มต้นหรือตัวต้นเหตุ(สมุทัย) มันมาจากบรรทัดที่ผมไฮไลท์สีแดงไว้แหละครับ การที่รู้ว่า p(b)=0 สรุปไม่ได้ว่า p(อื่น) จะต้องเป็น 2/3
เพราะสมการที่ได้จริงๆหลังจากเปิดกล่องb มันคือ p(a)+p(c)=1 --(*) (มาจาก p(a)+p(b)+p(c)=1 ; รู้ p(b)=0 )

ซึ่งจากสมการ(*) จะเห็นได้ว่า p(a),p(c) เปลี่ยนไปเป็นอะไรก็ได้ ขอให้รวมกันได้เป็น 1 <---นี่คือสิ่งที่อนุมานได้จาก การที่ p(b)=0
ไม่ใช่พอ p(b)=0 กลายเป็นว่ารู้ p(a)=1/3,p(c)=2/3 ซะอย่างนั้นไป

คำถามก็คือ เราจะเลือกให้ p(a),p(c) เปลี่ยนไปได้ด้วยวิธีไหน วิธีดั้งเดิมที่ใช้กันมาแต่นมนาน คือ equally likely outcome หมายถึงว่า ของที่ลักษณะเหมือนกันย่อมมีความน่าจะเป็นเท่ากัน (เช่นเหรียญมี 2 หน้า ไม่ได้สนใจว่าหน้านั้นจะสวยงามอย่างไร เปรียบกับข้อนี้คือไม่สนใจว่าในกล่องจะมีอะไร แต่เหตุการณ์ที่จะออกแต่ละด้านออกมา ก็คือ1/2 หรือเหตุการณ์ที่แต่ละกล่องจะถูกเลือกก็ควรเป็น 1/2)

การที่ไปคิดว่ามี p(อื่น)=p(b)+p(c) แล้วจับ p(b),p(c) มารวมกัน มันก็เหมือนกับหลอกตัวเองว่า มันต้องมาอยู่กลุ่มเดียวกัน ทั้งที่จริงๆแล้วไม่มีอะไรบ่งบอกว่ามันจะต้องมาคิดรวมกัน
ราวกับว่า การที่มารวมกลุ่มของที่ไม่ได้เลือกนั้น เป็นบันไดที่นำไปสู่ความน่าจะเป็น p(c)=2/3 นั่นเอง หรือสำหรับกรณีทั่วไปที่มีของเยอะกว่านั้น เช่น กรณีใบดำใบแดง(ที่จะพูดต่อด้านล่าง)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

กลับมาที่โจทย์ของกระทู้นี้ที่ จขกท.ตั้งไว้ (เรื่องใบดำใบแดง)

ผมอยากจะถามว่า แล้วทำไม ไม่ลองคิดกลับมาบ้างล่ะครับว่า ใบที่เราเลือกมาตอนแรกนั้นมันก็ได้อนิสงค์ของการที่คนอื่นไปทำให้ความน่าจะเป็นของใบอื่นเป็น 0 เหมือนกันกับใบที่ไม่ได้เลือกที่เหลืออยู่ 1 ใบ เพราะมันก็เป็นสมาชิกหนึ่งใน sample space ที่ยังไม่ได้รับการแตะต้องใดๆ ไม่มีการเปิดเผยความน่าจะเป็นออกมาเหมือนกับใบที่ถูกเฉลย มันก็ควรจะได้รับการกระทำที่เหมือนกันกับใบอื่นที่ยังไม่ได้ถูกเปิดเผยเช่นกัน (เพราะไม่มีเหตุผลอะไรที่มันจะไม่ควรได้ ไม่ว่ายังไง มันก็เป็นของที่เกิดมาพร้อมกัน พิจารณาพร้อมกันแต่ต้น)

ขอสรุปอีกที

สิ่งที่ผมกำลังจะสื่อทั้งหมดตั้งแต่ตอนแรกคือ มันเกิดการคิดที่ bias ขึ้น โดย ทิ้งขว้างสิ่งที่เราเลือกมาตั้งแต่ต้น แล้วไปสนใจอยู่แค่สิ่งที่ไม่ได้เลือก เชื่ออยู่แต่ว่าสิ่งที่ไม่ได้เลือกนั้น จะไปรวมกลุ่มกันเอง แล้วความน่าจะเป็นก็ไปโอนย้ายกันอยู่เองกับกลุ่มที่ไมได้เลือก (ทั้งๆที่ของทุกอันก็มีศักดิ์เท่ากัน ไม่ได้ต่างกันเลย) ซึ่งการคิดแบบนี้จะทำให้เกิดเหตุการณ์ที่ของที่เลือกไว้แต่แรกความน่าจะเป็นคงที่ และ ของที่ไม่ได้เลือกกับมีความน่าจะเป็นเปลี่ยนแปลงได้ ทั้งๆที่มันก็เป็นของชิ้นๆหนึ่งเหมือนกัน มันถูกต้องแล้วหรือ?

ซึ่งการคิดแบบ bias ผมก็ไม่ได้บอกว่าผิด เพราะในความน่าจะเป็นก็มี Bayesian Probability ที่ใช้ความน่าจะเป็นที่เป็น"ความเชื่อ"ของแต่ละคน แต่ก็นั่นละครับ ความเชื่อนั่นมันต้องมีหลักฐาน(เช่นมาจากการทดลอง) มีเหตุผลเพียงพอ มันถึงจะน่าเชื่อถือ ไม่ใช่จู่ๆก็คิดเอาเอง ใครสนใจลองตามไปอ่านเพิ่มเติมดูครับ
http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%...B8%A2%E0%B9%8C

เอาหยั่งงี้ละกันครับ ในเมื่อถามหาสิ่งที่สนับสนุนแนวคิดของผม ประเดี๋ยวใครผ่านไปมาจะหาว่าผมเป็นคนชอบคิดทึกทักเอาเอง ซึ่งผมก็ได้ลองค้นหาใน google ดู ก็พบว่าแค่เฉพาะที่....

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%...B8%A5%E0%B9%8C

ที่เดียว ก็มีถึง 4 แบบ ตั้งแต่แผนผังความน่าจะเป็น การยกตัวอย่างแล้วแจงกรณี ทฤษฏีของเบย์ หรือแม้กระทั่งการทำซิมูเลชั่น(ใช้ภาษาเพิร์ล) ลองติดตามกันดูได้นะครับ

สุดท้าย สำหรับกระทู้นี้ ผมขออนุญาตแสดงความคิดเห็นนี้เป็นความคิดเห็นสุดท้าย ใครจะเห็นด้วยหรือไม่เห็นด้วยอย่างไร? ก็แล้วแต่วิสัยของแต่ละท่านก็แล้วกันนะครับ หากให้ผมอธิบายใหม่กี่รอบๆ สุดท้ายก็คือแนวคิดเดิมอยู่ดีครับ

[poper]

มันเป็นเพียงความน่าจะเป็นนะครับ
ไม่คิดว่าตอนแรกนั้นเราอาจจะเลือกได้บานที่ถูกต้องไปแล้วบ้างหรือครับ
แม้โอกาสจะเป็น $\frac{1}{3}$ แต่ก็ไม่ได้เท่ากับ 0 นะครับ
ถ้าเปลี่ยนอาจจะแห้วนะครับถ้าเราดวงดีเลือกถูกตั้งแต่แรก
จริงๆก็ต้องกลับมาสู่จุดเริ่มต้นอีกทีว่า
ที่เถียงกันอยู่นี้ใช้หลักคณิตศาสตร์ หรือ สามัญสำนึกครับ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ It'S ME

เอาหยั่งงี้ละกันครับ ในเมื่อถามหาสิ่งที่สนับสนุนแนวคิดของผม ประเดี๋ยวใครผ่านไปมาจะหาว่าผมเป็นคนชอบคิดทึกทักเอาเอง ซึ่งผมก็ได้ลองค้นหาใน google ดู ก็พบว่าแค่เฉพาะที่....

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%...B8%A5%E0%B9%8C

ที่เดียว ก็มีถึง 4 แบบ ตั้งแต่แผนผังความน่าจะเป็น การยกตัวอย่างแล้วแจงกรณี ทฤษฏีของเบย์ หรือแม้กระทั่งการทำซิมูเลชั่น(ใช้ภาษาเพิร์ล) ลองติดตามกันดูได้นะครับ

สุดท้าย สำหรับกระทู้นี้ ผมขออนุญาตแสดงความคิดเห็นนี้เป็นความคิดเห็นสุดท้าย ใครจะเห็นด้วยหรือไม่เห็นด้วยอย่างไร? ก็แล้วแต่วิสัยของแต่ละท่านก็แล้วกันนะครับ หากให้ผมอธิบายใหม่กี่รอบๆ สุดท้ายก็คือแนวคิดเดิมอยู่ดีครับ

ดูลิงค์ที่ให้มาแล้วเข้าใจเยอะขึ้นเลยครับ ว่า sample space เป็นสิ่งที่อยู่ในกล่อง ไม่ใช่กล่อง
ดังนั้นจุดเริ่มต้นที่ผิดจริงๆน่าจะมากจากการคิดเป็นความน่าจะเป็นของกล่อง a,b,c มากกว่า เลยทำให้คำตอบที่ออกมานั้นมีข้อกำกวมและโต้แย้งได้
และ paradox ที่ในลิงค์ที่ว่า ผมว่าคงหมายถึงวิธีคิดแบบที่ใช้กล่องเป็นตัวชี้วัดนี่แหละครับที่ผิด

[หยินหยาง]

สงสัยจะเลิกเถียงกันแล้ว

[It'S ME]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ดูลิงค์ที่ให้มาแล้วเข้าใจเยอะขึ้นเลยครับ ว่า sample space เป็นสิ่งที่อยู่ในกล่อง ไม่ใช่กล่อง
ดังนั้นจุดเริ่มต้นที่ผิดจริงๆน่าจะมากจากการคิดเป็นความน่าจะเป็นของกล่อง a,b,c มากกว่า เลยทำให้คำตอบที่ออกมานั้นมีข้อกำกวมและโต้แย้งได้
และ paradox ที่ในลิงค์ที่ว่า ผมว่าคงหมายถึงวิธีคิดแบบที่ใช้กล่องเป็นตัวชี้วัดนี่แหละครับที่ผิด

(ปล.) พูดตรงๆ ไอ้เจ้าตัวปัญหา Monty Hall จริงๆนี่ ผมว่ามันคล้ายๆคำถามแบบปรนัย 3 ตัวเลือก ที่มีคำตอบที่ถูกต้องเพียงตัวเลือกเดียว (อีกสองตัวผิด) ผมยอมรับครับว่า ไม่ได้สนใจตัวคำถาม Monty Hall ที่เจ้าของกระทู้พูดถึง (คือไม่ใช่ตัวปัญหา Monty Hall จริง ๆ --มีแพะ 1 กับไม่มีไรเลยอีกสอง) เพราะผมคิดว่า ตัวปัญหาจริงๆ (แพะ 2 รถ 1) นั้นน่าจะเป็นที่รู้กันทั่วแล้ว ก็ต้องขออภัยมา ณ ที่นี้ครับ