เวกเตอร์ เวกเตอร์ ~ กับผลคูณเชิงสเกลาร์

[ZoDiAcKNight]

$1. กำหนด \vmatrix{U} = 1 , \vmatrix{V} = 2 และ \vmatrix{V-2U} = \vmatrix{V} จงหาว่า U และ V ทำมุมกันกี่องศา $

$2. ถ้า U และ V ทำมุมกัน 120^{\circ} และ \vmatrix{U} = 4 , \vmatrix{V} = 3 จงหาค่าของ (3U-2V)\bullet (U+2V) $

$3. กำหนด U+V-W= 0 และ \vmatrix{U} = 1 , \vmatrix{V} = 3 , \vmatrix{W} = 4 แล้วมุม \theta ซึ่งเป็นมุมระหว่าง U และ V เท่ากับกี่องศา $

ปล. U V W และ 0 คือเวกเตอร์นะครับ

ปล.2 ขอวิธีแบบง่ายๆตามสูตรปกติ และช่วยแจงให้ละเอียดด้วยนะครับ =~ = [ คือ ไม่ค่อยเข้าใจเรื่องเวกเตอร์เท่าไหร่เลย ]

ขอบคุณมากครับผม

[Onasdi]

1. ยกกำลังสองครับ $\vmatrix{V-2U}^2 = \vmatrix{V}^2$
เพราะจะให้ไปเข้าสูตร $X\cdot X=|X|^2$ (ที่มามาจาก $X\cdot X=|X|\cdot |X|\cos 0$)
จึงได้ $(V-2U)\cdot(V-2U) = \vmatrix{V}^2$
$(V-2U)\cdot V-(V-2U)\cdot 2U = \vmatrix{V}^2$
$V\cdot V-2U\cdot V-V\cdot 2U +2U\cdot 2U = \vmatrix{V}^2$
$\vmatrix{V}^2-4U\cdot V +4\vmatrix{U}^2 = \vmatrix{V}^2$

แทนค่า $\vmatrix{V},~\vmatrix{U}$ ได้ $U\cdot V=1$
นั่นคือ $|U|\cdot |V|\cos \theta=1$
$\cos \theta=\dfrac{1}{2}$ ดังนั้น $\theta = 30^\circ$ ครับ

[ZoDiAcKNight]

นั่งรอ ข้อ 2 และ 3 ต่อไป

[Onasdi]

ข้อ 2 กับ 3 ลองทำเท่าที่ได้ มาให้ดูสิครับ จะได้ช่วยแนะนำ
ได้ลองทำเอง จะเป็นเร็วที่สุดครับ

[ZoDiAcKNight]

แล้วคิดว่าผมจะไม่ทำรอหรอครับ ?

[tongkub]

ผมว่าคุณ onasdi เขาหมายถึงว่า ทำแล้วติดตรงไหนมากกว่าครับ เขาจะได้ต่อยอดให้

ข้อ 2 กระจาย dot ก่อนได้ $3\left|\,\right. U\left.\,\right| ^2 + 4U\bullet V + 4\left|\,\right. V\left.\,\right|^2$

= $3\left|\,\right. U\left.\,\right| ^2 + 4\left|\,\right. U\left.\,\right| \left|\,\right. V\left.\,\right|cos120 + 4\left|\,\right. V\left.\,\right|^2$

$3(4)^2 + 4(4)(3)(\frac{-1}{2}) + 4(3)^2 = 48 - 24 + 36 = 60$

ข้อ 3 จาก U + V - W = 0

U + V = W

กำลังสองทั้ง 2 ข้าง

$\left|\,\right. U\left.\,\right| ^2 + 2U\bullet V + \left|\,\right. V\left.\,\right| ^2 = \left|\,\right.W \left.\,\right| ^2$

$\left|\,\right. U\left.\,\right| ^2 + 2\left|\,\right. U\left.\,\right|\left|\,\right. V\left.\,\right|cos\theta + \left|\,\right. V\left.\,\right| ^2 = \left|\,\right.W \left.\,\right| ^2$

$(1)^2 + 2 (1)(3)cos\theta + (3)^2 = 4^2$

$1 + 6cos\theta + 9 = 16$

$6cos\theta = 6$
$cos\theta = 1$

$\theta = 0$ ครับ

[หยินหยาง]

คุณ tongkub ใจดีจัง