|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#2
07 กันยายน 2010, 21:02
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
proof . ให้ n = x-1 n+1 = x n+2 = x+1 $n+n+1+n+2 = x-1+x+x+1 = 3x$ 3|3x 
|
|
#3
08 กันยายน 2010, 02:00
|
||||
|
||||
|
ขอใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
ให้ \[P\left( n \right)\] แทน ข้อความ \[3|n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\] 1. n=1 จะได้ \[3|1\left( 2 \right)\left( 3 \right)\] เป็นจริง สรุป \[P\left( 1 \right)\] เป็นจริง 2. ให้ \[P\left( k \right)\] แทนข้อความ \[3|k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\] เป็นจริง ต้องพิสูจน์ \[P\left( {k + 1} \right)\] เป็นจริง จาก \[\begin{array}{l} \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1 + 1} \right)\left( {k + 1 + 2} \right)\\ = \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\\ = \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)k + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)3 \end{array}\] เนื่องจาก \[3|\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)3\] ดังนั้น \[3|\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)k\] สรุปว่า \[p\left( {k + 1} \right)\] เป็นจริง
|
|
#4
08 กันยายน 2010, 08:36
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
อ่า ... ตรงสีแดงไม่เข้าใจครับ  รบกวนอีกครั้งครับ
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว  ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
|
|
#5
08 กันยายน 2010, 13:45
|
||||
|
||||
|
อาจจะเขียนผิดครับ ต้องเป็น
เนื่องจาก $3|\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)3$ และ $3|\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)k$ (สมมติฐานการอุปนัย) จึงได้ $3|\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)$
|
|
#6
08 กันยายน 2010, 15:01
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครับ แล้วพิสูจน์แบบคุณ-Math-Sci- ใช้ได้ไหมครับ (ถ้าเขาบอกให้พิสูจน์เฉลยๆ)
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
|
|
#7
08 กันยายน 2010, 15:32
|
||||
|
||||
|
เหมือนว่าคุณ -Math-Sci- กำลังพิสูจน์ข้อความที่ว่า "ผลบวกของจำนวนเรียงกันสามจำนวนหารด้วย 3 ลงตัวเสมอ"
ส่วนถ้าเป็นผลคูณ เราอาจจะลองสังเกตดูว่า ในสามจำนวนที่เรียงกัน ตัวนึงจะหารด้วย 3 เหลือเศษ 0 อีกตัวนึงจะหารด้วย 3 เหลือเศษ 1 ตัวที่เหลือจะหารด้วย 3 เหลือเศษ 2 อย่างแน่นอนครับ
|
|
#8
08 กันยายน 2010, 16:37
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
จำนวนเต็มสามจำนวนเรียงกัน ย่อมมีหนึ่งจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัวเสมอ
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
|
|
#9
08 กันยายน 2010, 22:30
|
||||
|
||||
|
ขอบคุณทุก ๆ คน มากครับ ที่ช่วยตอบให้
แต่ถ้าไม่ใช้ maths induction คิดว่าจะพอมีทางพิสูจน์ได้ไหม๊ครับ (ม.ปลาย ยังไม่ได้เรียน maths induction) หมายเหตุ คุณ-Math-Sci- พิสูจน์ 3 หารผลบวกของจำนวนสามจำนวนที่เรียงติดกันลงตัวเสมอ ครับ แต่ก็ขอบคุณครับ ได้โจทย์เพิ่มอีก 1 ข้อ
|
|
#10
08 กันยายน 2010, 22:39
|
||||
|
||||
|
#9
จำนวนเต็มแบ่งได้เป็น 3 แบบ คือ 3k,3k+1,3k+2 แล้วลองแยกกรณีดูครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป...
|
|
#12
09 กันยายน 2010, 07:35
|
||||
|
||||
|
ผมลองใช้วิธีอื่นที่ไม่ใช่การอุปนัยดู เพิ่งคิดได้เช้านี้ตอนขับรถไปส่งลูกที่โรงเรียน
เราลองกระจาย$n(n+1)(n+2)=(n^2+n)(n+2)=n^3+3n^2+2n$....มีพจน์เดียวที่มี 3เป็นตัวประกอบ คือหารลงตัวคือ$3n^2$ เราก็เหลือแค่พิสูจน์ว่า$n^3+2n$หารด้วย3ลงตัว จากที่เราเคยเรียนเรื่องการหาร เราจะเขียนว่า$a=bx+r$ว่าหมายถึง เราเขียนจำนวนเต็มใดๆซึ่งคือ$a$ในรูปของ$B$ ตามรูปแบบข้างต้นได้โดยที่$0 \leqslant r<b$ ดังนั้นเราเขียน$n$ในรูปของการหารด้วย3ได้ว่า$n=3a+r$โดยที่$a=0,1,2,...$ และ$0 \leqslant r<3$ ซึ่ง $r=0,1,2$ จากนั้นเอาไปแทนใน$n^3+2n$ จะได้ว่า $n^3+2n=n(n^2+2)\rightarrow (3a+r)((3a+r)^2+2)=(3a+r)(9a^2+6ar+r^2+2)$ พจน์ที่3หารลงตัวแน่ๆคือ$9a^2+6ar$ จึงไปมองที่ผลคูณของ$(3a+r)(r^2+2)$ $(3a+r)(r^2+2)=3ar^2+6a+r^3+2r$ จะเห็นว่า$3ar^2+6a$หารด้วย3ลงตัว จึงเหลือแค่การดูว่า$r^3+2r$จะหารด้วย3ลงตัวหรือไม่ เรารู้อยู่แล้วว่า$r=0,1,2$ก็แทนค่าดู....ถ้ามองแบบข้ามช็อต เราเห็นเลยว่าใน$(3a+r)(r^2+2)$มีพจน์ที่ไม่มี3เป็นตัวประกอบนั้นเกิดจากการคูณระหว่าง$r$ กับ $r^2+2$ $r=0\rightarrow r^3+2r=0$ $r=1\rightarrow r^3+2r=1+2=3$ $r=2\rightarrow r^3+2r=8+4=12$....ซึ่งทั้งสามค่านั้น 3หารลงตัว เราจึงสรุปได้ว่า3หาร$n(n+1)(n+2)$ลงตัว จริงๆจะลองแทน$n=3a+r$ ตั้งแต่แรกเลยก็ได้ใน$n(n+1)(n+2)$ แต่ผมขี้เกียจ กระจายแล้วพจน์มันรกๆ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 
09 กันยายน 2010 09:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ
|
|
#13
09 กันยายน 2010, 15:16
|
||||
|
||||
|
ขอบคุณครับ
แต่ผมว่าแยกกรณีตามที่คุณ Lightlucifer แนะนำจะช่วยให้การอธิบายง่ายกว่า คือ ถ้าพิจารณา n โดยการหารด้วย 3 จะแบ่งได้เป็น 3 กรณี ดังนี้ กรณีที่ 1 $n=3k$ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จะได้ $n(n+1)(n+2)=3k(3k+1)(3k+2)\therefore 3\mid n(n+1)(n+2)$ กรณีที่ 2 $n=3k+1$ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จะได้ $n(n+1)(n+2)=(3k+1)(3k+2)(3k+3)=3(3k+1)(3k+2)(k+1)\therefore 3\mid n(n+1)(n+2)$ กรณีที่ 3 $n=3k+2$ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จะได้ $n(n+1)(n+2)=(3k+2)(3k+3)(3k+4)=3(3k+2)(k+1)(3k+4)\therefore 3\mid n(n+1)(n+2)$ ดังนั้น$3\mid n(n+1)(n+2)$สำหรับทุกจำนวนเต็มใดๆ ขอบคุณสำหรับทุก ๆ ความคิดเห็นนะครับ
|
| |
|
|
